Um oscilador harmônico de massa m tem frequência natural de oscilação \omega_{0} e parâmetro de amortecimento \gamma. É aplicada para t \geq 0 uma força periódica F(t)=F_{\mathrm{o}} \cos (\omega t).
a) Sabemos que as soluções da EDO homogênea são transientes para quaisquer condições iniciais. Obtenha a solução da equação de movimento no limite de tempos muito longos, em que a solução transiente pode ser desprezada, supondo uma solução particular oscilatória com a mesma frequência angular que a força externa. Em particular, encontre a expressão para a amplitude do movimento e para a diferença de fase em relação à força em termos dos dados do problema.
b) Tanto a amplitude de oscilação quanto a diferença de fase entre x(t) e F(t) dependem de \omega. Encontre a frequência de ressonância de amplitude, na qual a amplitude do movimento é máxima para F_{\mathrm{o}} fixo. Qual a relação entre os parâmetros que descrevem o oscilador para que exista ressonância na amplitude (valor da amplitude máxima, valor da diferença de fase)? Que regimes de amortecimento permitem esse fenômeno?
c) Encontre a frequência de ressonância de potência, na qual a potência média em um período, transmitida ao oscilador, é máxima para F_{\mathrm{o}} fixo. Qual o valor da diferença de fase entre F(t) e x(t) nesse caso, e o que isso significa? Que regimes de amortecimento permitem esse fenômeno?

Passo 1

O enunciado dá um oscilador amortecido sujeito a uma força periódica para t\ge0. Dados e pedidos:
  • Dados:
    • massa: m.
    • frequência natural: \omega_{0}.
    • parâmetro de amortecimento: \gamma (coeficiente na equação de movimento).
    • força externa: F(t)=F_{\mathrm{o}}\cos(\omega t) aplicada para t\ge0.
  • O que pede:
    a) No regime de tempos muito longos (descartando transientes), obter a solução particular periódica com a mesma frequência da força; em particular encontrar a amplitude do movimento e a diferença de fase entre x(t) e F(t), em termos dos dados.
    b) Determinar a frequência de ressonância de amplitude (valor de \omega que maximiza a amplitude para F_{\mathrm{o}} fixo), a condição entre parâmetros para que essa ressonância exista, o valor da amplitude máxima e a diferença de fase correspondente; comentar que regimes de amortecimento permitem esse fenômeno.
    c) Encontrar a frequência de ressonância de potência (valor de \omega que maximiza a potência média transmitida ao oscilador para F_{\mathrm{o}} fixo), o valor da diferença de fase entre F(t) e x(t) nessa situação, interpretação física e regimes de amortecimento permitidos.

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento e justificando a forma da solução particular.
A equação do movimento (dividida por m) é
x''(t)+\gamma x'(t)+\omega_{0}^{2}x(t)=\frac{F_{\mathrm{o}}}{m}\cos(\omega t).
Explicação rápida: x'' é a aceleração, \gamma x' é a força de atrito por unidade de massa (proporcional à velocidade) e \omega_0^2 x vem da força restauradora por unidade de massa. Para tempos muito longos, as soluções da equação homogênea (transientes) decaem exponencialmente porque as raízes têm parte real negativa (amortecimento), então sobra a solução particular periódica com a mesma frequência \omega da força externa. Vamos procurar uma solução particular da forma (mesma frequência):
x_{\mathrm{p}}(t)=A\cos(\omega t-\delta),
onde A é a amplitude estacionária e \delta é o atraso (fase) entre x e a força F. Nosso objetivo é obter A(\omega) e \delta(\omega).

Passo 3

Resolver o problema com um ansatz trigonométrico (método direto, passo a passo).
É conveniente escrever x_{\mathrm{p}} como combinação de cosseno e seno:
x_{\mathrm{p}}(t)=X\cos(\omega t)+Y\sin(\omega t),
onde X e Y são coeficientes a determinar. Calculando derivadas:
x_{\mathrm{p}}'=-X\omega\sin(\omega t)+Y\omega\cos(\omega t),
x_{\mathrm{p}}''=-X\omega^{2}\cos(\omega t)-Y\omega^{2}\sin(\omega t).
Substituindo na equação diferencial e agrupando os termos em \cos(\omega t) e \sin(\omega t) obtemos o sistema linear para X e Y:
\text{coeficiente de }\cos(\omega t):\quad X(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma\omega Y=\frac{F_{\mathrm{o}}}{m},
\text{coeficiente de }\sin(\omega t):\quad Y(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})-\gamma\omega X=0.

Passo 4

Resolver o sistema para X e Y, e obter amplitude e fase.
Do segundo (isolando Y):
Y=\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\,X\quad\text{(desde que }\omega_{0}^{2}\neq\omega^{2}\text{; caso singular tratado por limites)}.
Substituindo no primeiro:
X\big[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}\big]=\frac{F_{\mathrm{o}}}{m}(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}).
Definindo
\Delta(\omega)\equiv(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2},
temos
X=\frac{F_{\mathrm{o}}}{m}\,\frac{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}{\Delta(\omega)}, \qquad Y=\frac{F_{\mathrm{o}}}{m}\,\frac{\gamma\omega}{\Delta(\omega)}.
A amplitude A e o desfasamento \delta satisfazem
A=\sqrt{X^{2}+Y^{2}},\qquad \tan\delta=\frac{Y}{X}.
Calculando A:
A(\omega)=\frac{F_{\mathrm{o}}/m}{\sqrt{\Delta(\omega)}} =\frac{F_{\mathrm{o}/m}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}}.
(Atenção: escrevi o numerador como F_{\mathrm{o}}/m — é a amplitude da força por unidade de massa.)
Calculando \delta:
\tan\delta(\omega)=\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}},
ou seja
\delta(\omega)=\arctan\!\bigg(\frac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\bigg),
com interpretação do quadrante: para \omega<\omega_{0} o denominador é positivo e \delta\in(0,\tfrac{\pi}{2}); para \omega>\omega_{0} o denominador é negativo e \delta\in(\tfrac{\pi}{2},\pi). Em particular para \omega=\omega_{0} o denominador zera e \delta=\tfrac{\pi}{2} (deslocamento de 90^\circ).
Comentário didático rápido: a amplitude decresce se o denominador \sqrt{\Delta} cresce; a fase indica quanto x(t) atrasa em relação a F(t): \delta>0 significa que x fica atrasado (fica “atrás”) da força.

Passo 5

Encontrar a frequência de ressonância de amplitude (máxima de A(\omega)) e condições para existir.
Queremos maximizar A(\omega) com respeito a \omega, equivalently minimizar \Delta(\omega) com \omega>0. Calcule a derivada de \Delta:
\frac{d\Delta}{d\omega}=2(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})(-2\omega)+2\gamma^{2}\omega =2\omega\big[-2(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma^{2}\big].
Zerando para \omega>0
-2(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+\gamma^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad \omega^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2}.
Logo a frequência que extremiza a amplitude é
\omega_{\mathrm{res},A}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2}}.
Para que \omega_{\mathrm{res},A} seja real (logo exista um máximo em \omega>0) é necessário
\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \gamma<\sqrt{2}\,\omega_{0}.
Se essa condição não é satisfeita, A(\omega) não tem máximo para \omega>0 além de um máximo trivial em \omega=0; portanto a ressonância de amplitude só ocorre quando o amortecimento é suficientemente pequeno.
Valor da amplitude máxima (substituindo \omega=\omega_{\mathrm{res},A} em A(\omega)). Note que
\omega_{0}^{2}-\omega_{\mathrm{res},A}^{2}=\frac{\gamma^{2}}{2},
e
\Delta(\omega_{\mathrm{res},A})=\Big(\frac{\gamma^{2}}{2}\Big)^{2}+\gamma^{2}\omega_{\mathrm{res},A}^{2} =\gamma^{2}\Big(\omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{4}\Big).
Portanto
A_{\max}=A(\omega_{\mathrm{res},A})=\frac{F_{\mathrm{o}}/m}{\gamma\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{\gamma^{2}}{4}}}.
Diferença de fase na ressonância de amplitude: usar \tan\delta= \dfrac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} com \omega=\omega_{\mathrm{res},A}:
\tan\delta_{\mathrm{res},A}=\frac{\gamma\omega_{\mathrm{res},A}}{\gamma^{2}/2}=\frac{2\omega_{\mathrm{res},A}}{\gamma},
ou seja
\delta_{\mathrm{res},A}=\arctan\!\Big(\frac{2\omega_{\mathrm{res},A}}{\gamma}\Big).
Interpretação rápida: para amortecimento muito pequeno ( \gamma\ll\omega_{0}), \omega_{\mathrm{res},A}\approx\omega_{0} e \delta_{\mathrm{res},A}\approx\tfrac{\pi}{2}; ao aumentar \gamma até o limite \gamma\to\sqrt{2}\,\omega_{0}, tem-se \omega_{\mathrm{res},A}\to0 e \delta_{\mathrm{res},A}\to0.

Passo 6

Que regimes de amortecimento permitem ressonância de amplitude?
Classificação rápida:
  • Homogeneidade: o sistema é subamortecido (raízes complexas na homogênea) se \gamma<2\omega_{0}. Porém a condição para existir pico de amplitude é mais forte:
  • Ressonância de amplitude existe somente se \gamma<\sqrt{2}\,\omega_{0}. Assim existem casos subamortecidos ( \sqrt{2}\,\omega_{0}\le\gamma<2\omega_{0}) onde não há pico de amplitude em \omega>0.
    Conclusão: é preciso amortecimento suficientemente pequeno (ou seja, perda de energia por ciclo pequena o suficiente) para observar ressonância de amplitude.

Passo 7

Potência média recebida: expressão e ressonância de potência.
A potência instantânea fornecida pela força é P(t)=F(t)\,v(t)=F_{\mathrm{o}}\cos(\omega t)\,x'(t). Para a solução particular x_{\mathrm{p}}(t)=A\cos(\omega t-\delta) tem-se x'(t)=-A\omega\sin(\omega t-\delta). A potência média sobre um período T=\tfrac{2\pi}{\omega} é
\langle P\rangle=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}F(t)x'(t)\,dt=\frac{1}{2}F_{\mathrm{o}}A\omega\sin\delta.
Explicação: usando identidades trigonométricas, os termos oscilatórios com média zero desaparecem e fica esse termo proporcional a \sin\delta. Substituindo A e \sin\delta em termos de \Delta:
A=\frac{F_{\mathrm{o}}/m}{\sqrt{\Delta}},\qquad \sin\delta=\frac{\gamma\omega}{\sqrt{\Delta}}.
Logo
\langle P\rangle(\omega)=\frac{1}{2}\,\frac{F_{\mathrm{o}}^{2}}{m}\, \frac{\gamma\omega^{2}}{\Delta(\omega)} =\frac{F_{\mathrm{o}}^{2}}{2m}\,\frac{\gamma\omega^{2}}{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}.
Maximização de \langle P\rangle(\omega): derivando em relação a \omega e procedendo como antes (ou usando o truque de derivar em \omega^{2}) leva a condição
\omega_{\mathrm{res},P}=\omega_{0}.
Portanto a potência média transmitida ao oscilador é máxima quando a frequência de excitação coincide com a frequência natural \omega_{0}, independentemente do valor de \gamma. A diferença de fase nessa frequência é, como já observado,
\delta(\omega_{0})=\frac{\pi}{2},
pois \tan\delta tem denominador nulo em \omega=\omega_{0}. Interpretação física: \delta=\tfrac{\pi}{2} significa que o deslocamento está defasado de 90^\circ em relação à força, de modo que a velocidade v(t) está em fase com a força. Como potência média é proporcional à componente da força na direção da velocidade, ter força e velocidade em fase maximiza a transferência média de energia (máxima dissipação no amortecedor). O pico de potência máxima existe para qualquer \gamma>0 (a posição do máximo é sempre \omega_{0}); o valor máximo da potência média é
\langle P\rangle_{\max}=\langle P\rangle(\omega_{0})=\frac{F_{\mathrm{o}}^{2}}{2m\gamma}.
Observação: para amortecimento muito grande essa potência máxima é pequena (proporcional a 1/\gamma), mas o pico em \omega=\omega_{0} continua a existir.

Passo 8

Resumo interpretativo rápido e dicas para prova.
  • Para obter A(\omega) e \delta(\omega) na prova: substituir x_{\mathrm{p}}=X\cos\omega t+Y\sin\omega t, resolver o sistema linear para X,Y, obter A=\sqrt{X^{2}+Y^{2}} e \tan\delta=Y/X. Isso evita trabalhar com números complexos se não quiser.
  • Lembre: ressonância de amplitude e ressonância de potência são diferentes: a amplitude máxima exige \gamma<\sqrt{2}\,\omega_{0} e ocorre em \omega_{\mathrm{res},A}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}/2}, enquanto a potência média máxima ocorre sempre em \omega_{0} e tem fase \delta=\tfrac{\pi}{2} (força em fase com velocidade).
  • Palavra de incentivo: esse problema aparece muito em provas; decorar as fórmulas principais e saber derivá-las rapidamente com o método do passo 3 é suficiente para resolver a maioria das questões. Você já entendeu o passo a passo — repita um ou dois exercícios similares e fica natural.

Resposta

a) A(\omega)=\dfrac{F_{\mathrm{o}}/m}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}},\qquad \delta(\omega)=\arctan\!\bigg(\dfrac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\bigg).
b) \omega_{\mathrm{res},A}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{\gamma^{2}}{2}} (existe apenas se \gamma<\sqrt{2}\,\omega_{0}).
Valor da amplitude máxima:
A_{\max}=\frac{F_{\mathrm{o}}/m}{\gamma\sqrt{\omega_{0}^{2}-\dfrac{\gamma^{2}}{4}}}.
Diferença de fase na ressonância de amplitude:
\delta_{\mathrm{res},A}=\arctan\!\Big(\frac{2\omega_{\mathrm{res},A}}{\gamma}\Big).
Regimes: ressonância de amplitude ocorre somente para amortecimento suficientemente pequeno, \gamma<\sqrt{2}\,\omega_{0} (há casos subamortecidos sem pico de amplitude se \sqrt{2}\,\omega_{0}\le\gamma<2\omega_{0}).
c) \omega_{\mathrm{res},P}=\omega_{0} (a potência média é máxima em \omega_{0}, para qualquer \gamma).
Diferença de fase nessa situação: \delta(\omega_{0})=\dfrac{\pi}{2} (o deslocamento está defasado de 90^\circ em relação à força, de modo que a velocidade está em fase com a força).
Valor máximo da potência média:
\langle P\rangle_{\max}=\frac{F_{\mathrm{o}}^{2}}{2m\gamma}.
Regimes: a ressonância de potência em \omega_{0} existe para qualquer \gamma>0 (o pico pode ser largo e de pequena amplitude se \gamma for grande).

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