Um oscilador harmônico de massa
tem frequência natural de oscilação
e parâmetro de amortecimento
. É aplicada para
uma força periódica
.
a) Sabemos que as soluções da EDO homogênea são transientes para quaisquer condições iniciais. Obtenha a solução da equação de movimento no limite de tempos muito longos, em que a solução transiente pode ser desprezada, supondo uma solução particular oscilatória com a mesma frequência angular que a força externa. Em particular, encontre a expressão para a amplitude do movimento e para a diferença de fase em relação à força em termos dos dados do problema.
b) Tanto a amplitude de oscilação quanto a diferença de fase entre
e
dependem de
. Encontre a frequência de ressonância de amplitude, na qual a amplitude do movimento é máxima para
fixo. Qual a relação entre os parâmetros que descrevem o oscilador para que exista ressonância na amplitude (valor da amplitude máxima, valor da diferença de fase)? Que regimes de amortecimento permitem esse fenômeno?
c) Encontre a frequência de ressonância de potência, na qual a potência média em um período, transmitida ao oscilador, é máxima para
fixo. Qual o valor da diferença de fase entre
e
nesse caso, e o que isso significa? Que regimes de amortecimento permitem esse fenômeno?
a) Sabemos que as soluções da EDO homogênea são transientes para quaisquer condições iniciais. Obtenha a solução da equação de movimento no limite de tempos muito longos, em que a solução transiente pode ser desprezada, supondo uma solução particular oscilatória com a mesma frequência angular que a força externa. Em particular, encontre a expressão para a amplitude do movimento e para a diferença de fase em relação à força em termos dos dados do problema.
b) Tanto a amplitude de oscilação quanto a diferença de fase entre
c) Encontre a frequência de ressonância de potência, na qual a potência média em um período, transmitida ao oscilador, é máxima para
Passo 1
O enunciado dá um oscilador amortecido sujeito a uma força periódica para
. Dados e pedidos:
- Dados:
- massa:
. - frequência natural:
. - parâmetro de amortecimento:
(coeficiente na equação de movimento). - força externa:
aplicada para .
- massa:
- O que pede:
a) No regime de tempos muito longos (descartando transientes), obter a solução particular periódica com a mesma frequência da força; em particular encontrar a amplitude do movimento e a diferença de fase entree , em termos dos dados.
b) Determinar a frequência de ressonância de amplitude (valor deque maximiza a amplitude para fixo), a condição entre parâmetros para que essa ressonância exista, o valor da amplitude máxima e a diferença de fase correspondente; comentar que regimes de amortecimento permitem esse fenômeno.
c) Encontrar a frequência de ressonância de potência (valor deque maximiza a potência média transmitida ao oscilador para fixo), o valor da diferença de fase entre e nessa situação, interpretação física e regimes de amortecimento permitidos.
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento e justificando a forma da solução particular.
A equação do movimento (dividida por
) é
Explicação rápida:
é a aceleração,
é a força de atrito por unidade de massa (proporcional à velocidade) e
vem da força restauradora por unidade de massa. Para tempos muito longos, as soluções da equação homogênea (transientes) decaem exponencialmente porque as raízes têm parte real negativa (amortecimento), então sobra a solução particular periódica com a mesma frequência
da força externa. Vamos procurar uma solução particular da forma (mesma frequência):
onde
é a amplitude estacionária e
é o atraso (fase) entre
e a força
. Nosso objetivo é obter
e
.
Passo 3
Resolver o problema com um ansatz trigonométrico (método direto, passo a passo).
É conveniente escrever
como combinação de cosseno e seno:
onde
e
são coeficientes a determinar. Calculando derivadas:
Substituindo na equação diferencial e agrupando os termos em
e
obtemos o sistema linear para
e
:
Passo 4
Resolver o sistema para
e
, e obter amplitude e fase.
Do segundo (isolando
):
Substituindo no primeiro:
Definindo
temos
A amplitude
e o desfasamento
satisfazem
Calculando
:
(Atenção: escrevi o numerador como
— é a amplitude da força por unidade de massa.)
Calculando :
Calculando
ou seja
com interpretação do quadrante: para
o denominador é positivo e
; para
o denominador é negativo e
. Em particular para
o denominador zera e
(deslocamento de
).
Comentário didático rápido: a amplitude decresce se o denominador
cresce; a fase indica quanto
atrasa em relação a
:
significa que
fica atrasado (fica “atrás”) da força.
Passo 5
Encontrar a frequência de ressonância de amplitude (máxima de
) e condições para existir.
Queremos maximizar
com respeito a
, equivalently minimizar
com
. Calcule a derivada de
:
Zerando para
dá
Logo a frequência que extremiza a amplitude é
Para que
seja real (logo exista um máximo em
) é necessário
Se essa condição não é satisfeita,
não tem máximo para
além de um máximo trivial em
; portanto a ressonância de amplitude só ocorre quando o amortecimento é suficientemente pequeno.
Valor da amplitude máxima (substituindo
em
). Note que
e
Portanto
Diferença de fase na ressonância de amplitude: usar
com
:
ou seja
Interpretação rápida: para amortecimento muito pequeno (
),
e
; ao aumentar
até o limite
, tem-se
e
.
Passo 6
Que regimes de amortecimento permitem ressonância de amplitude?
Classificação rápida:
- Homogeneidade: o sistema é subamortecido (raízes complexas na homogênea) se
. Porém a condição para existir pico de amplitude é mais forte: - Ressonância de amplitude existe somente se
. Assim existem casos subamortecidos ( ) onde não há pico de amplitude em .
Conclusão: é preciso amortecimento suficientemente pequeno (ou seja, perda de energia por ciclo pequena o suficiente) para observar ressonância de amplitude.
Passo 7
Potência média recebida: expressão e ressonância de potência.
A potência instantânea fornecida pela força é
. Para a solução particular
tem-se
. A potência média sobre um período
é
Explicação: usando identidades trigonométricas, os termos oscilatórios com média zero desaparecem e fica esse termo proporcional a
. Substituindo
e
em termos de
:
Logo
Maximização de
: derivando em relação a
e procedendo como antes (ou usando o truque de derivar em
) leva a condição
Portanto a potência média transmitida ao oscilador é máxima quando a frequência de excitação coincide com a frequência natural
, independentemente do valor de
. A diferença de fase nessa frequência é, como já observado,
pois
tem denominador nulo em
. Interpretação física:
significa que o deslocamento está defasado de
em relação à força, de modo que a velocidade
está em fase com a força. Como potência média é proporcional à componente da força na direção da velocidade, ter força e velocidade em fase maximiza a transferência média de energia (máxima dissipação no amortecedor). O pico de potência máxima existe para qualquer
(a posição do máximo é sempre
); o valor máximo da potência média é
Observação: para amortecimento muito grande essa potência máxima é pequena (proporcional a
), mas o pico em
continua a existir.
Passo 8
Resumo interpretativo rápido e dicas para prova.
- Para obter
e na prova: substituir , resolver o sistema linear para , obter e . Isso evita trabalhar com números complexos se não quiser. - Lembre: ressonância de amplitude e ressonância de potência são diferentes: a amplitude máxima exige
e ocorre em , enquanto a potência média máxima ocorre sempre em e tem fase (força em fase com velocidade). - Palavra de incentivo: esse problema aparece muito em provas; decorar as fórmulas principais e saber derivá-las rapidamente com o método do passo 3 é suficiente para resolver a maioria das questões. Você já entendeu o passo a passo — repita um ou dois exercícios similares e fica natural.
Resposta
a)
b)
(existe apenas se
).
Valor da amplitude máxima:
Valor da amplitude máxima:
Diferença de fase na ressonância de amplitude:
Regimes: ressonância de amplitude ocorre somente para amortecimento suficientemente pequeno,
(há casos subamortecidos sem pico de amplitude se
).
c)
(a potência média é máxima em
, para qualquer
).
Diferença de fase nessa situação: (o deslocamento está defasado de
em relação à força, de modo que a velocidade está em fase com a força).
Valor máximo da potência média:
Diferença de fase nessa situação:
Valor máximo da potência média:
Regimes: a ressonância de potência em
existe para qualquer
(o pico pode ser largo e de pequena amplitude se
for grande).