11- Estados ligados do átomo de hidrogênio: Elétron ligado a um potencial Coulombiano do núcleo,
(no sistema de unidade no qual
). Considere o núcleo com massa infinita e a energia
. Determine o índice de degenerescência dos diferentes estados.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- O potencial é Coulombiano:
(foi dada a convenção ). - O núcleo tem massa infinita, logo a massa reduzida do problema é
(massa do elétron). - Estamos interessados em estados ligados, ou seja energia
. - O enunciado pede: determinar o índice de degenerescência dos diferentes estados (isto é, para cada nível de energia, quantas soluções independentes da função de onda correspondem a essa energia).
Passo 2
Qual é a estrutura das soluções do problema — variáveis quânticas que aparecem?
- Resolve-se a equação de Schrödinger independente do tempo para o potencial coulombiano e separa-se em coordenadas esféricas
. - A separação de variáveis leva a três números quânticos que rotulam as soluções estacionárias:
- Número principal
. - Número azimutal (orbital)
. - Número magnético
.
- Número principal
- Existe também o número radial
ligado por com . Essa relação é útil para contar estados: para um dado existem combinações de e que satisfazem essa igualdade.
Passo 3
Por que a energia depende só de
(o que causa degenerescência)?
- Para o potencial Coulombiano, os autovalores de energia dos estados ligados tomam a forma (usando
, e a convenção dada) onde . - Observe que
depende somente de , não depende de nem de . Isso significa que todos os estados com o mesmo (diferentes ) têm a mesma energia — isto é a degenerescência energética.
Passo 4
Como contar explicitamente quantos estados independentes existem para um dado
(contagem sem spin)?
- Para um valor fixo de
os possíveis valores de são . - Para cada
existem valores possíveis de (de até ). - Assim o número de estados (degenerescência espacial) para o nível
é
Passo 5
Efetuar a soma para encontrar uma expressão fechada:
- Calculo direto:
- Avaliando as somas conhecidas:
- Substituindo:
Passo 6
Exemplos concretos (para fixar a ideia):
- Para
: só, então . - Para
: dando estados, . - Para
: dando estados, .
Isso ajuda a memorizar: o degenerescência cresce como quadrado do número principal.
Passo 7
Observações finais importantes (didáticas e úteis em prova)
- A degenerescência
deriva do fato de a energia depender somente de . Esse excesso de degenerescência (além da degenerescência trivial de rotação) é chamado degenerescência “acidental” e está relacionado à existência de uma constante de movimento extra (vetor de Runge–Lenz) e à simetria do problema coulombiano ligado. - Se for levado em conta o spin do elétron (
), cada estado espacial se duplica e a degenerescência total torna-se .