11- Estados ligados do átomo de hidrogênio: Elétron ligado a um potencial Coulombiano do núcleo, V(r)=-\frac{Z e^{2}}{r} (no sistema de unidade no qual \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}}=1 ). Considere o núcleo com massa infinita e a energia E<0. Determine o índice de degenerescência dos diferentes estados.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • O potencial é Coulombiano: V(r)=-\dfrac{Z e^{2}}{r} (foi dada a convenção \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}=1).
  • O núcleo tem massa infinita, logo a massa reduzida do problema é \mu=m (massa do elétron).
  • Estamos interessados em estados ligados, ou seja energia E<0.
  • O enunciado pede: determinar o índice de degenerescência dos diferentes estados (isto é, para cada nível de energia, quantas soluções independentes da função de onda correspondem a essa energia).

Passo 2

Qual é a estrutura das soluções do problema — variáveis quânticas que aparecem?
  • Resolve-se a equação de Schrödinger independente do tempo para o potencial coulombiano e separa-se em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi).
  • A separação de variáveis leva a três números quânticos que rotulam as soluções estacionárias:
    • Número principal \,n\in\{1,2,3,\dots\}\,.
    • Número azimutal (orbital) \,l\in\{0,1,\dots,n-1\}\,.
    • Número magnético \,m\in\{-l,\dots,0,\dots,l\}\,.
  • Existe também o número radial n_{r} ligado por n = n_{r} + l + 1,com n_{r}\in\{0,1,2,\dots\}. Essa relação é útil para contar estados: para um dado n existem combinações de n_{r} e l que satisfazem essa igualdade.

Passo 3

Por que a energia depende só de n (o que causa degenerescência)?
  • Para o potencial Coulombiano, os autovalores de energia dos estados ligados tomam a forma (usando \mu=m, e a convenção dada) E_{n} = -\dfrac{m e^{4} Z^{2}}{2\hbar^{2}}\cdot\dfrac{1}{n^{2}},onde n=1,2,\dots.
  • Observe que E_{n} depende somente de n, não depende de l nem de m. Isso significa que todos os estados com o mesmo n (diferentes l,m) têm a mesma energia — isto é a degenerescência energética.

Passo 4

Como contar explicitamente quantos estados independentes existem para um dado n (contagem sem spin)?
  • Para um valor fixo de n os possíveis valores de l são l=0,1,\dots,n-1.
  • Para cada l existem 2l+1 valores possíveis de m (de -l até +l).
  • Assim o número de estados (degenerescência espacial) para o nível n é g_{n}=\sum_{l=0}^{n-1} (2l+1).

Passo 5

Efetuar a soma para encontrar uma expressão fechada:
  • Calculo direto: g_{n}=\sum_{l=0}^{n-1}(2l+1)=2\sum_{l=0}^{n-1} l + \sum_{l=0}^{n-1}1.
  • Avaliando as somas conhecidas: \sum_{l=0}^{n-1} l = \frac{(n-1)n}{2},\qquad \sum_{l=0}^{n-1}1 = n.
  • Substituindo: g_{n}=2\cdot\frac{(n-1)n}{2} + n = n(n-1)+n = n^{2}.

Passo 6

Exemplos concretos (para fixar a ideia):
  • Para n=1: l=0 só, 2l+1=1 então g_{1}=1=1^{2}.
  • Para n=2: l=0,1 dando 1+3=4 estados, g_{2}=4=2^{2}.
  • Para n=3: l=0,1,2 dando 1+3+5=9 estados, g_{3}=9=3^{2}.
Isso ajuda a memorizar: o degenerescência cresce como quadrado do número principal.

Passo 7

Observações finais importantes (didáticas e úteis em prova)
  • A degenerescência g_{n}=n^{2} deriva do fato de a energia depender somente de n. Esse excesso de degenerescência (além da degenerescência trivial de rotação) é chamado degenerescência “acidental” e está relacionado à existência de uma constante de movimento extra (vetor de Runge–Lenz) e à simetria O(4) do problema coulombiano ligado.
  • Se for levado em conta o spin do elétron ( s=\tfrac{1}{2}), cada estado espacial se duplica e a degenerescência total torna-se 2n^{2}.

Resposta

g_{n}=n^{2}
\text{(incluindo o spin do elétron: }g_{n}=2n^{2}\text{)}é

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