Considere o oscilador harmônico quântico. Admitindo a solução para o ground state seja dada por
\psi_{0}(x)=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}},
calcule a desvio padrão da posição, \Delta x, e desvio padrão do momento linear, \Delta p, nesse estado. Escreva também o produto dos dois desvios, \Delta x \Delta p, e verifique se viola ou não princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 1

O enunciado dá a função de onda do estado fundamental (ground state) do oscilador harmônico quântico:
\psi_{0}(x)=\left(\frac{m \omega}{\pi \hbar}\right)^{1 / 4} e^{-\frac{m \omega}{2 \hbar} x^{2}}.
O que se pede:
  • Calcular o desvio padrão da posição, \Delta x, neste estado.
  • Calcular o desvio padrão do momento linear, \Delta p, neste estado.
  • Calcular o produto \Delta x\,\Delta p e verificar se isso viola o princípio da incerteza de Heisenberg.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função de onda \psi_{0}(x) está normalizada (constante à frente dada).
  • Parâmetros físicos: massa m, frequência \omega, constante de Planck reduzida \hbar.
  • A forma da função é uma gaussiana centrada em x=0.

Passo 2

Lembrando definições e ferramentas que usaremos (breve mini-aula):
  • Valor esperado (expectation value) de um operador \hat{O} em um estado \psi é
\langle O\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi^{*}(x)\, \hat{O}\, \psi(x)\, dx.
  • Para variância (desvio padrão ao quadrado) de x:
(\Delta x)^{2} = \langle x^{2}\rangle - \langle x\rangle^{2}.
  • Para o momento linear no espaço de posição usamos o operador
\hat p = -i\hbar\frac{d}{dx},
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\langle p\rangle = \int \psi^{*}(-i\hbar \psi')\,dx,\qquad \langle p^{2}\rangle = \int \psi^{*}\left(-\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right)\psi\,dx.
  • Princípio da incerteza de Heisenberg exige
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Também usaremos integrais gaussianas básicas:
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha x^{2}}\,dx = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}},\qquad \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}},
válidas para \alpha>0. (Um truque rápido: a segunda resulta de diferenciar \int e^{-\alpha x^2}dx em relação a \alpha.)

Passo 3

Organização para simplificar cálculos: defino
\alpha := \frac{m\omega}{\hbar}.
Então a função de onda pode ser escrita como
\psi_{0}(x) = A\, e^{-\frac{\alpha}{2} x^{2}}, \qquad A = \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4},
e
A^{2} = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}.

Passo 4

Calcular \langle x\rangle. Pelo formato da gaussiana (função par e real) sabemos que \psi_{0}(x)^{2} é par, e x é ímpar, então a integral do produto é zero. Formalmente:
\langle x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{0}^{*}(x)\, x\, \psi_{0}(x)\, dx = A^{2} \int_{-\infty}^{\infty} x\, e^{-\alpha x^{2}}\,dx = 0,
porque a integranda é função ímpar em um intervalo simétrico. Portanto \langle x\rangle = 0.

Passo 5

Calcular \langle x^{2}\rangle. Usando a fórmula da integral gaussiana com \alpha = m\omega/\hbar:
\langle x^{2}\rangle = A^{2} \int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\alpha x^{2}}\,dx = A^{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}}.
Substituindo A^{2}=\sqrt{\dfrac{\alpha}{\pi}} obtemos
\langle x^{2}\rangle = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\alpha^{3}}} = \frac{1}{2}\frac{1}{\alpha} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\hbar}{m\omega}.
Portanto
\langle x^{2}\rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega}.

Passo 6

Calcular \Delta x. Já que \langle x\rangle=0,
(\Delta x)^{2} = \langle x^{2}\rangle = \frac{\hbar}{2 m \omega},
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\Delta x = \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}.

Passo 7

Calcular \langle p\rangle. Como \psi_{0}(x) é real e par, a derivada \psi_{0}'(x) é ímpar; então
\langle p\rangle = \int \psi_{0}^{*}(-i\hbar \psi_{0}')\,dx
é proporcional à integral de uma função ímpar em domínio simétrico, logo \langle p\rangle = 0. Intuitivamente, estado fundamental tem momento médio zero.

Passo 8

Calcular \langle p^{2}\rangle. Usamos \hat p^{2}=-\hbar^{2}\frac{d^{2}}{dx^{2}}. Primeiro calcule as derivadas de \psi_{0}. Com a notação \psi_{0}(x)=A e^{-\frac{\alpha}{2}x^{2}} temos
\psi_{0}'(x) = -\alpha x\,\psi_{0}(x),
\psi_{0}''(x) = (\alpha^{2}x^{2}-\alpha)\,\psi_{0}(x).
Logo
\langle p^{2}\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi_{0}^{*}(x)\left(-\hbar^{2}\psi_{0}''(x)\right)\,dx = -\hbar^{2}\int \psi_{0}^{2}(x)\,(\alpha^{2}x^{2}-\alpha)\,dx.
Separe a integral:
\langle p^{2}\rangle = -\hbar^{2}\left(\alpha^{2}\langle x^{2}\rangle - \alpha\right).
Substituindo \langle x^{2}\rangle = \dfrac{1}{2\alpha} (ver Passo 5) obtemos
\alpha^{2}\langle x^{2}\rangle - \alpha = \alpha^{2}\cdot\frac{1}{2\alpha}-\alpha = \frac{\alpha}{2}-\alpha = -\frac{\alpha}{2}.
Portanto
\langle p^{2}\rangle = -\hbar^{2}\left(-\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\hbar^{2}\alpha}{2}.
Lembrando \alpha = \dfrac{m\omega}{\hbar}, isso dá
\langle p^{2}\rangle = \frac{\hbar^{2}}{2}\cdot\frac{m\omega}{\hbar} = \frac{\hbar m \omega}{2}.

Passo 9

Calcular \Delta p. Como \langle p\rangle = 0,
(\Delta p)^{2} = \langle p^{2}\rangle = \frac{\hbar m \omega}{2},
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\Delta p = \sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}}.

Passo 10

Calcular o produto \Delta x\,\Delta p e verificar o princípio da incerteza:
\Delta x\,\Delta p = \sqrt{\frac{\hbar}{2 m \omega}}\;\sqrt{\frac{\hbar m \omega}{2}} = \sqrt{\frac{\hbar^{2}}{4}} = \frac{\hbar}{2}.
Comparando com a desigualdade de Heisenberg \Delta x\,\Delta p \ge \dfrac{\hbar}{2}, vemos que o produto obtido é exatamente \dfrac{\hbar}{2}. Portanto não há violação; o estado fundamental é um estado de incerteza mínima que atinge a igualdade na desigualdade de Heisenberg.

Resposta

\Delta x = \sqrt{\dfrac{\hbar}{2 m \omega}}
\Delta p = \sqrt{\dfrac{\hbar m \omega}{2}}
\Delta x\,\Delta p = \dfrac{\hbar}{2} (não viola; igualdade — incerteza mínima)

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