Considere o oscilador harmônico quântico. Admitindo a solução para o ground state seja dada por
calcule a desvio padrão da posição,
, e desvio padrão do momento linear,
, nesse estado. Escreva também o produto dos dois desvios,
, e verifique se viola ou não princípio da incerteza de Heisenberg.
Passo 1
O enunciado dá a função de onda do estado fundamental (ground state) do oscilador harmônico quântico:
O que se pede:
- Calcular o desvio padrão da posição,
, neste estado. - Calcular o desvio padrão do momento linear,
, neste estado. - Calcular o produto
e verificar se isso viola o princípio da incerteza de Heisenberg.
Informações relevantes fornecidas:
- A função de onda
está normalizada (constante à frente dada). - Parâmetros físicos: massa
, frequência , constante de Planck reduzida . - A forma da função é uma gaussiana centrada em
.
Passo 2
Lembrando definições e ferramentas que usaremos (breve mini-aula):
- Valor esperado (expectation value) de um operador
em um estado é
- Para variância (desvio padrão ao quadrado) de
:
- Para o momento linear no espaço de posição usamos o operador
logo
- Princípio da incerteza de Heisenberg exige
Também usaremos integrais gaussianas básicas:
válidas para
. (Um truque rápido: a segunda resulta de diferenciar
em relação a
.)
Passo 3
Organização para simplificar cálculos: defino
Então a função de onda pode ser escrita como
e
Passo 4
Calcular
. Pelo formato da gaussiana (função par e real) sabemos que
é par, e
é ímpar, então a integral do produto é zero. Formalmente:
porque a integranda é função ímpar em um intervalo simétrico. Portanto
.
Passo 5
Calcular
. Usando a fórmula da integral gaussiana com
:
Substituindo
obtemos
Portanto
Passo 6
Calcular
. Já que
,
logo
Passo 7
Calcular
. Como
é real e par, a derivada
é ímpar; então
é proporcional à integral de uma função ímpar em domínio simétrico, logo
. Intuitivamente, estado fundamental tem momento médio zero.
Passo 8
Calcular
. Usamos
. Primeiro calcule as derivadas de
. Com a notação
temos
Logo
Separe a integral:
Substituindo
(ver Passo 5) obtemos
Portanto
Lembrando
, isso dá
Passo 9
Calcular
. Como
,
logo
Passo 10
Calcular o produto
e verificar o princípio da incerteza:
Comparando com a desigualdade de Heisenberg
, vemos que o produto obtido é exatamente
. Portanto não há violação; o estado fundamental é um estado de incerteza mínima que atinge a igualdade na desigualdade de Heisenberg.