Considere a equação
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+3 y=0
(a) (1pts) Determine a solução geral da equação.
(b) (1pts) Determine o conjunto fundamental de soluções \left\{y_{1}, y_{2}\right\} tal que y_{1}\left(t_{0}\right)=1, y_{1}^{\prime}\left(t_{0}\right)=0 e y_{2}\left(t_{0}\right)=0, y_{2}^{\prime}\left(t_{0}\right)=1 para t_{0}=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y=0.
As perguntas são:
(a) Determine a solução geral da equação.
(b) Determine um conjunto fundamental de soluções \{y_{1},y_{2}\} que satisfaça as condições iniciais em t_{0}=0:
y_{1}(0)=1,\quad y_{1}^{\prime}(0)=0,
y_{2}(0)=0,\quad y_{2}^{\prime}(0)=1.
Informações relevantes dadas: a equação é homogênea, de coeficientes constantes, e os dados iniciais são em t_{0}=0.

Passo 2

Ideia do método (passo-a-passo e o porquê): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem, procura-se soluções da forma exponencial \,y(t)=e^{rt}\,. Isso funciona porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, então ao substituir \,y=e^{rt}\, obtém-se uma equação algébrica para r chamada equação característica. Vou fazer isso agora.

Passo 3

Formo a equação característica substituindo y=e^{rt}. As derivadas são y^{\prime}=r e^{rt} e y^{\prime\prime}=r^{2}e^{rt}. Substituindo em \,y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+3y=0\, e dividindo por e^{rt} (não nulo) obtém-se:
r^{2}+4r+3=0.
Agora resolvo essa equação quadrática para achar as raízes r.

Passo 4

Resolvo r^{2}+4r+3=0. Posso fatorar:
r^{2}+4r+3=(r+1)(r+3)=0,
portanto as raízes são \,r_{1}=-1 e \,r_{2}=-3. Como são duas raízes reais e distintas, a teoria diz que a solução geral da equação diferencial homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes.

Passo 5

Escrevo a solução geral. Com constantes arbitrárias C_{1} e C_{2} tem-se:
y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-3t}.
Explicando: C_{1} e C_{2} são números reais determinados por condições iniciais; as funções e^{-t} e e^{-3t} formam um conjunto fundamental de soluções (são linearmente independentes) porque correspondem a raízes distintas da característica.

Passo 6

Agora imponho as condições iniciais pedidas para obter [y_{1}) e y_{2} com os valores em t_{0}=0.
Para y_{1} quero y_{1}(0)=1 e y_{1}^{\prime}(0)=0. Escrevo y_{1}(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-3t}. Avaliando em t=0:
y_{1}(0)=C_{1}+C_{2}=1.
A derivada é y_{1}^{\prime}(t)=-C_{1}e^{-t}-3C_{2}e^{-3t}, então em t=0:
y_{1}^{\prime}(0)=-C_{1}-3C_{2}=0.
Resolvo o sistema linear
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=1,\\[4pt] -C_{1}-3C_{2}=0. \end{cases}
Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição): da primeira C_{1}=1-C_{2}\]. Substituindo na segunda: \[-(1-C_{2})-3C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad -1+C_{2}-3C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad -1-2C_{2}=0,\] logo \(C_{2}=-\dfrac{1}{2} e C_{1}=1-(-\dfrac{1}{2})=\dfrac{3}{2}. Portanto
y_{1}(t)=\tfrac{3}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}.]

Passo 7

Agora determino y_{2}\) tal que \(y_{2}(0)=0\) e \(y_{2}^{\prime}(0)=1\). Escrevo \(y_{2}(t)=D_{1}e^{-t}+D_{2}e^{-3t}\). Avaliando em \(t=0\): \[y_{2}(0)=D_{1}+D_{2}=0.
Derivando e avaliando:
y_{2}^{\prime}(t)=-D_{1}e^{-t}-3D_{2}e^{-3t}\quad\Rightarrow\quad y_{2}^{\prime}(0)=-D_{1}-3D_{2}=1.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} D_{1}+D_{2}=0,\\[4pt] -D_{1}-3D_{2}=1, \end{cases}
da primeira D_{1}=-D_{2}\]. Substituindo na segunda: \[-(-D_{2})-3D_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad D_{2}-3D_{2}=1 \quad\Rightarrow\quad -2D_{2}=1,\] logo \(D_{2}=-\dfrac{1}{2} e D_{1}=\dfrac{1}{2}. Portanto
y_{2}(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}=\tfrac{1}{2}\bigl(e^{-t}-e^{-3t}\bigr).]

Passo 8

Verificação rápida (conforto): em t=0 tem-se y_{1}(0)=\tfrac{3}{2}-\tfrac{1}{2}=1 e y_{1}^{\prime}(0)=0; para y_{2} tem-se y_{2}(0)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=0 e y_{2}^{\prime}(0)=1. Além disso y_{1} e y_{2} são linearmente independentes (por exemplo o wronskiano em 0 é 1), então formam um conjunto fundamental.

Resposta

(a) y(t)=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-3t},\quad C_{1},C_{2}\in\mathbb{R}.
(b) y_{1}(t)=\tfrac{3}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t},\qquad y_{2}(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}-\tfrac{1}{2}e^{-3t}.

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