Considere a equação
(a) (1pts) Determine a solução geral da equação.
(b) (1pts) Determine o conjunto fundamental de soluções
tal que
e
para
.
(b) (1pts) Determine o conjunto fundamental de soluções
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
As perguntas são:
(a) Determine a solução geral da equação.
(b) Determine um conjunto fundamental de soluções que satisfaça as condições iniciais em
:
(a) Determine a solução geral da equação.
(b) Determine um conjunto fundamental de soluções
Informações relevantes dadas: a equação é homogênea, de coeficientes constantes, e os dados iniciais são em
.
Passo 2
Ideia do método (passo-a-passo e o porquê): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes de segunda ordem, procura-se soluções da forma exponencial
. Isso funciona porque derivadas de exponenciais são proporcionais à própria exponencial, então ao substituir
obtém-se uma equação algébrica para
chamada equação característica. Vou fazer isso agora.
Passo 3
Formo a equação característica substituindo
. As derivadas são
e
. Substituindo em
e dividindo por
(não nulo) obtém-se:
Agora resolvo essa equação quadrática para achar as raízes
.
Passo 4
Resolvo
. Posso fatorar:
portanto as raízes são
e
. Como são duas raízes reais e distintas, a teoria diz que a solução geral da equação diferencial homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes.
Passo 5
Escrevo a solução geral. Com constantes arbitrárias
e
tem-se:
Explicando:
e
são números reais determinados por condições iniciais; as funções
e
formam um conjunto fundamental de soluções (são linearmente independentes) porque correspondem a raízes distintas da característica.
Passo 6
Agora imponho as condições iniciais pedidas para obter [y_{1}) e
com os valores em
.
Para
quero
e
. Escrevo
. Avaliando em
:
A derivada é
, então em
:
Resolvo o sistema linear
Somando as duas equações (ou resolvendo por substituição): da primeira
e
. Portanto
Passo 7
Agora determino
Derivando e avaliando:
Resolvendo o sistema
da primeira
e
. Portanto
Passo 8
Verificação rápida (conforto): em
tem-se
e
; para
tem-se
e
. Além disso
e
são linearmente independentes (por exemplo o wronskiano em
é
), então formam um conjunto fundamental.
Resposta
(a)
(b)