(a) (1 pt)Enuncie o Teorema de Abel.
(b) (1pt) Demonstre o Teorema de Abel
(c) (1pt) Encontre o Wronskiano da equação (\cos t) y^{\prime \prime}+(\sin t) y^{\prime}-t y=0 sem resolver a equaçāo.

Passo 1

Lista clara do que o enunciado pede e quais dados temos.
  • O enunciado tem três partes:
    • (a) Enunciar o Teorema de Abel.
    • (b) Demonstrar o Teorema de Abel.
    • (c) Calcular o Wronskiano da equação (\cos t)\,y''+(\sin t)\,y'-t\,y=0 sem resolver a equação.
  • Informação fornecida que vamos usar na parte (c):
    • A equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes dependentes de t é (\cos t)\,y''+(\sin t)\,y'-t\,y=0.
    • Não é pedido resolver a equação, só encontrar o Wronskiano.
  • Observação importante (usada após a enunciação do teorema): para aplicar o Teorema de Abel precisamos trabalhar em um intervalo onde o coeficiente que multiplica y'' não se anula e os coeficientes são contínuos — aqui isso significa trabalhar em intervalos onde \cos t\neq0.

Passo 2

Enunciado didático e completo do Teorema de Abel (forma geral e forma para 2ª ordem).
  • Teorema de Abel (forma geral, ordem n):
    • Considere a equação linear homogênea de ordem n a_n(t)\,y^{(n)}+a_{n-1}(t)\,y^{(n-1)}+\cdots+a_1(t)\,y'+a_0(t)\,y=0,onde os coeficientes a_k(t) são contínuos em um intervalo I e a_n(t)\neq0 em I.
    • Seja \{y_1,\dots,y_n\} um conjunto de soluções fundamentais e seja W(t) o Wronskiano dessas soluções, isto é W(t)=\det\begin{pmatrix} y_1(t) & y_2(t) & \cdots & y_n(t)\\\ y_1'(t) & y_2'(t) & \cdots & y_n'(t)\\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\\ y_1^{(n-1)}(t) & y_2^{(n-1)}(t) & \cdots & y_n^{(n-1)}(t) \end{pmatrix}.
    • Então existe uma constante C (dependente de uma escolha inicial t_0) tal que W(t)=C\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}\frac{a_{n-1}(s)}{a_n(s)}\,ds\Bigr),\qquad t\in I.
    • Em palavras simples: o Wronskiano é determinado até uma constante por uma expressão exponencial envolvendo o coeficiente de y^{(n-1)} dividido pelo coeficiente líder a_n.
  • Caso particular (segunda ordem), que usaremos para a parte (c):
    • Para a(t)\,y''+b(t)\,y'+c(t)\,y=0,\qquad a,b,c\\ \text{contínuas em }I,\\ a(t)\neq0\\ \text{em }I,ío Wronskiano W(t) de duas soluções fundamentais satisfaz W(t)=W(t_0)\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}\frac{b(s)}{a(s)}\,ds\Bigr).

Passo 3

Explicação didática da estratégia da demonstração e preparação das ferramentas (ideias-chave, sem pular etapas).
  • Objetivo da demonstração: mostrar que o Wronskiano W(t) satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem da forma W'(t)= -\frac{a_{n-1}(t)}{a_n(t)}\,W(t),de onde a expressão exponencial aparece imediatamente ao integrar.
  • Ferramenta principal: propriedades do determinante (linearidade por linhas e o fato de que determinantes com duas linhas iguais são zero) e a relação que as soluções satisfazem pelo próprio sistema diferencial (podemos substituir derivadas de ordem n por combinações das derivadas inferiores).
  • Observação sobre notação: para tornar a escrita simples, denomina-se as linhas do determinante do Wronskiano por r_1(t)=(y_1,\dots,y_n),\quad r_2(t)=(y_1',\dots,y_n'),\quad\ldots,\quad r_n(t)=(y_1^{(n-1)},\dots,y_n^{(n-1)}).Assim W(t)=\det\bigl(r_1(t),r_2(t),\dots,r_n(t)\bigr),onde cada r_k(t) é uma linha do determinante.

Passo 4

Demonstração completa do Teorema de Abel (forma geral, ordem n), passo a passo.
  • Começo: calcule a derivada do Wronskiano usando a regra da derivada do determinante (derivar linha a linha e somar): W'(t)=\sum_{k=1}^{n}\det\bigl(r_1(t),\dots,r_{k-1}(t),r_k'(t),r_{k+1}(t),\dots,r_n(t)\bigr).Observação: para k=1,\dots,n-1 tem-se r_k'(t)=r_{k+1}(t) porque a derivada da linha com derivadas de ordem k-1 é a linha com derivadas de ordem k.
  • Para k=1,\dots,n-1, cada termo da soma é \det\bigl(r_1,\dots,r_{k-1},r_{k+1},r_{k+1},r_{k+2},\dots,r_n\bigr),isto é, aparece uma linha repetida ( r_{k+1} aparece duas vezes). Portanto cada um desses determinantes vale 0 (determinante com duas linhas iguais é zero).
  • Resta então apenas o termo k=n: W'(t)=\det\bigl(r_1(t),r_2(t),\dots,r_{n-1}(t),r_n'(t)\bigr).
  • Agora usar a equação diferencial na sua forma padrão (dividida pelo coeficiente líder a_n(t)) para escrever y^{(n)} como combinação linear das derivadas inferiores: y^{(n)} + p_{n-1}(t)\,y^{(n-1)}+\cdots+p_1(t)\,y'+p_0(t)\,y=0,onde p_j(t)=\dfrac{a_j(t)}{a_n(t)}. Assim para cada solução y_i vale y_i^{(n)}(t)= -\sum_{j=0}^{n-1} p_j(t)\,y_i^{(j)}(t).Em termos das linhas r_k, isso dá r_n'(t)=y^{(n)} \text{ linha } = -\sum_{j=1}^{n} p_{j-1}(t)\,r_j(t).(Aqui r_j contém as derivadas de ordem j-1.)
  • Substituindo essa expressão em W'(t) e usando linearidade do determinante em relação à última coluna (ou linha), obtemos W'(t)=\det\bigl(r_1,\dots,r_{n-1},-\sum_{j=1}^{n} p_{j-1} r_j\bigr) = -\sum_{j=1}^{n} p_{j-1}(t)\,\det\bigl(r_1,\dots,r_{n-1},r_j\bigr).
  • Agora observe: para j=1,2,\dots,n-1 o determinante \det(r_1,\dots,r_{n-1},r_j) tem uma repetição de linhas (a linha r_j aparece também entre r_1,\dots,r_{n-1}), logo esses determinantes são zero. Só sobra o termo j=n: W'(t) = -p_{n-1}(t)\,\det\bigl(r_1,\dots,r_{n-1},r_n\bigr) = -p_{n-1}(t)\,W(t).
  • Conclusão: o Wronskiano satisfaz a equação diferencial de primeira ordem W'(t) = -p_{n-1}(t)\,W(t).Integrando essa equação do tipo W'/W=-p_{n-1} obtemos \ln|W(t)| = -\int_{t_0}^{t} p_{n-1}(s)\,ds + \ln|W(t_0)|,ou seja W(t)=W(t_0)\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}p_{n-1}(s)\,ds\Bigr).
  • Reescrevendo p_{n-1}=\dfrac{a_{n-1}}{a_n} obtemos exatamente a forma enunciada no Passo 2: W(t)=W(t_0)\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}\frac{a_{n-1}(s)}{a_n(s)}\,ds\Bigr).
  • Comentário didático final sobre hipóteses: esta demonstração exige que os coeficientes sejam contínuos (para garantir existência das derivadas e integrabilidade) e que a_n(t)\neq0 no intervalo considerado (para poder dividir por a_n e escrever a forma padrão).

Passo 5

Aplicação direta à equação dada e cálculo do Wronskiano (parte (c)), com explicações simples.
  • Reescrevendo a equação dada na forma padrão (dividindo por a(t)=\cos t, válida onde \cos t\neq0): y'' + \frac{\sin t}{\cos t}\,y' - \frac{t}{\cos t}\,y = 0.Aqui identificamos b(t)=\sin t e a(t)=\cos t, e na forma padrão o coeficiente de y' é p_1(t)=\frac{b(t)}{a(t)}=\frac{\sin t}{\cos t}=\tan t.
  • Pelo Teorema de Abel para segunda ordem, o Wronskiano W(t) satisfaz W(t)=W(t_0)\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}\frac{b(s)}{a(s)}\,ds\Bigr) =W(t_0)\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}\tan s\,ds\Bigr).
  • Calcule a integral (passo a passo): \int \tan s\,ds = -\ln|\cos s| + \text{const}.Logo -\int_{t_0}^{t}\tan s\,ds = -\bigl(-\ln|\cos t| + \ln|\cos t_0|\bigr)=\ln\!\Bigl(\frac{|\cos t|}{|\cos t_0|}\Bigr).
  • Substituindo na expressão para W(t): W(t)=W(t_0)\exp\!\Bigl(\ln\!\Bigl(\frac{|\cos t|}{|\cos t_0|}\Bigr)\Bigr) =W(t_0)\,\frac{|\cos t|}{|\cos t_0|}.Como o Wronskiano pode ter sinal, é mais conveniente absorver a razão de sinais na constante arbitrária. Definindo a constante C=\dfrac{W(t_0)}{\cos t_0} (escolhendo a mesma convenção de sinal), obtemos a forma simples W(t)=C\,\cos t,válida em qualquer intervalo onde \cos t\neq0 (ou, de forma equivalente), W(t)=W(t_0)\,\frac{\cos t}{\cos t_0}.
  • Observação final: em pontos onde \cos t=0 o coeficiente líder a(t) se anula e a fórmula do Teorema de Abel não é aplicável atravessando esse ponto; portanto a expressão acima vale em cada intervalo (conexo) onde \cos t\neq0, por exemplo em \bigl(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\bigr), \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\bigr), etc.

Resposta

(a) Seja \,a_n(t)y^{(n)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0 com coeficientes contínuos em um intervalo I e a_n(t)\neq0 em I. Se W(t) é o Wronskiano de um sistema fundamental de soluções então, para qualquer t_0\in I,
W(t)=W(t_0)\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}\frac{a_{n-1}(s)}{a_n(s)}\,ds\Bigr),\qquad t\in I.
(b) Demonstração: diferenciar o Wronskiano e usar linearidade do determinante e a equação diferencial para escrever a derivada da última linha como combinação linear das linhas anteriores; isso leva a W'(t)=-p_{n-1}(t)W(t) com p_{n-1}=a_{n-1}/a_n; integrar dá a fórmula do item (a). (Demonstração completa nos passos anteriores.)
(c) Para (\cos t)y''+(\sin t)y'-t y=0, em intervalos onde \cos t\neq0,
W(t)=W(t_0)\exp\!\Bigl(-\int_{t_0}^{t}\tan s\,ds\Bigr)=W(t_0)\frac{\cos t}{\cos t_0},
ou, de forma equivalente, W(t)=C\cos t com C constante.

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