Considere que um oscilador harmônico simples com amplitude
e frequência angular
, tem a sua aceleração máxima duplicada enquanto sua velocidade máxima é mantida constante. Para isto, sua amplitude passa a ser
e sua frequência angular passa a ser
. Encontre a relação entre
e
e a relação entre
e
.
Passo 1
O enunciado dá um oscilador harmônico simples com amplitude
e frequência angular
. Ele passa a ter nova amplitude
e nova frequência angular
tal que:
- a aceleração máxima do novo estado fica o dobro da aceleração máxima do estado antigo;
- a velocidade máxima permanece igual (não muda).
O que se pede:
- a relação entre
e ; - a relação entre
e .
Informações relevantes que vamos usar (já explícitas no enunciado):
- aceleração máxima do segundo =
× aceleração máxima do primeiro; - velocidade máxima do segundo = velocidade máxima do primeiro.
Passo 2
Lembra do movimento harmônico simples (MHS): a posição pode ser escrita como
onde:
-
é a amplitude (valor máximo de ); -
é a frequência angular (rad/s); -
é a fase inicial; -
é o tempo.
Derivando para obter velocidade e aceleração:
Explicando os máximos:
- a função
tem valor máximo , então o módulo máximo da velocidade é
Aqui
significa o maior valor absoluto que a velocidade atinge durante o movimento.
- a função
tem valor máximo , então o módulo máximo da aceleração é
Aqui
significa o maior valor absoluto que a aceleração atinge.
Essas relações são fundamentais e simples de memorizar:
e
.
Passo 3
Agora aplicamos as condições do enunciado aos dois estados (índice 1 para inicial, 2 para final).
Condição “velocidade máxima mantida”:
Condição “aceleração máxima duplicada”:
Essas duas equações determinam as relações pedidas.
Passo 4
Isolamos
da primeira equação para substituir na segunda. Da primeira:
Substituindo na equação da aceleração:
Simplificando o lado esquerdo:
Logo a igualdade fica
Podemos cancelar
(assumindo
) e também cancelar um fator
(assumindo
), obtendo
Portanto a nova frequência angular é o dobro da antiga.
Passo 5
Usando a relação da velocidade máxima (
) e substituindo
, obtemos
Cancelando
(não nulo) resulta
ou seja
Assim a nova amplitude vale metade da amplitude inicial.
Passo 6
Verificação rápida (controle de consistência):
- velocidade máxima:
(mantém-se igual) — ok; - aceleração máxima:
(dobrou) — ok.
Interpretação física curta: para manter a mesma velocidade máxima enquanto aumenta a aceleração máxima, a oscilação precisa ficar mais rápida (
aumenta) e a amplitude diminui — aqui a frequência dobrou e a amplitude ficou pela metade.