Considere que um oscilador harmônico simples com amplitude A_{1} e frequência angular \omega_{1}, tem a sua aceleração máxima duplicada enquanto sua velocidade máxima é mantida constante. Para isto, sua amplitude passa a ser \mathrm{A}_{2} e sua frequência angular passa a ser \omega_{2}. Encontre a relação entre \mathrm{A}_{1} e \mathrm{A}_{2} e a relação entre \omega_{1} e \omega_{2}.

Passo 1

O enunciado dá um oscilador harmônico simples com amplitude \,A_{1}\, e frequência angular \,\omega_{1}\,. Ele passa a ter nova amplitude \,A_{2}\, e nova frequência angular \,\omega_{2}\, tal que:
  • a aceleração máxima do novo estado fica o dobro da aceleração máxima do estado antigo;
  • a velocidade máxima permanece igual (não muda).
O que se pede:
  • a relação entre \,A_{1}\, e \,A_{2}\,;
  • a relação entre \,\omega_{1}\, e \,\omega_{2}\,.
Informações relevantes que vamos usar (já explícitas no enunciado):
  • aceleração máxima do segundo = 2 × aceleração máxima do primeiro;
  • velocidade máxima do segundo = velocidade máxima do primeiro.

Passo 2

Lembra do movimento harmônico simples (MHS): a posição pode ser escrita como
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • \,A\, é a amplitude (valor máximo de |x|);
  • \,\omega\, é a frequência angular (rad/s);
  • \,\varphi\, é a fase inicial;
  • t é o tempo.
Derivando para obter velocidade e aceleração:
v(t)=\frac{dx}{dt}=-\omega A\sin(\omega t+\varphi),
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-\omega^{2}A\cos(\omega t+\varphi).
Explicando os máximos:
  • a função \sin(\cdot) tem valor máximo 1, então o módulo máximo da velocidade é
v_{\max}=\omega A.
Aqui \,v_{\max}\, significa o maior valor absoluto que a velocidade atinge durante o movimento.
  • a função \cos(\cdot) tem valor máximo 1, então o módulo máximo da aceleração é
a_{\max}=\omega^{2}A.
Aqui \,a_{\max}\, significa o maior valor absoluto que a aceleração atinge.
Essas relações são fundamentais e simples de memorizar: v_{\max}=\omega A e a_{\max}=\omega^{2}A.

Passo 3

Agora aplicamos as condições do enunciado aos dois estados (índice 1 para inicial, 2 para final).
Condição “velocidade máxima mantida”:
\omega_{1}A_{1}=\omega_{2}A_{2}.
Condição “aceleração máxima duplicada”:
\omega_{2}^{2}A_{2}=2\,\omega_{1}^{2}A_{1}.
Essas duas equações determinam as relações pedidas.

Passo 4

Isolamos A_{2} da primeira equação para substituir na segunda. Da primeira:
A_{2}=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}\,A_{1}.
Substituindo na equação da aceleração:
\omega_{2}^{2}\left(\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}A_{1}\right)=2\,\omega_{1}^{2}A_{1}.
Simplificando o lado esquerdo:
\omega_{2}^{2}\cdot\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}}A_{1}=\omega_{2}\,\omega_{1}\,A_{1}.
Logo a igualdade fica
\omega_{2}\,\omega_{1}\,A_{1}=2\,\omega_{1}^{2}A_{1}.
Podemos cancelar A_{1} (assumindo A_{1}\neq 0) e também cancelar um fator \omega_{1} (assumindo \omega_{1}\neq 0), obtendo
\omega_{2}=2\,\omega_{1}.
Portanto a nova frequência angular é o dobro da antiga.

Passo 5

Usando a relação da velocidade máxima ( \omega_{1}A_{1}=\omega_{2}A_{2}) e substituindo \omega_{2}=2\omega_{1}, obtemos
\omega_{1}A_{1}=(2\omega_{1})A_{2}.
Cancelando \omega_{1} (não nulo) resulta
A_{1}=2A_{2},
ou seja
A_{2}=\tfrac{1}{2}\,A_{1}.
Assim a nova amplitude vale metade da amplitude inicial.

Passo 6

Verificação rápida (controle de consistência):
  • velocidade máxima: \omega_{2}A_{2}=(2\omega_{1})\cdot(\tfrac{1}{2}A_{1})=\omega_{1}A_{1} (mantém-se igual) — ok;
  • aceleração máxima: \omega_{2}^{2}A_{2}=(2\omega_{1})^{2}\cdot(\tfrac{1}{2}A_{1})=4\omega_{1}^{2}\cdot\tfrac{1}{2}A_{1}=2\omega_{1}^{2}A_{1} (dobrou) — ok.
Interpretação física curta: para manter a mesma velocidade máxima enquanto aumenta a aceleração máxima, a oscilação precisa ficar mais rápida ( \omega aumenta) e a amplitude diminui — aqui a frequência dobrou e a amplitude ficou pela metade.

Resposta

A_{2}=\tfrac{1}{2}\,A_{1}
\omega_{2}=2\,\omega_{1}

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