Partindo da equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, encontre a a equação horária para os casos de:
amortecimento supercrítico

Passo 1

O enunciado pede: a partir da equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, encontrar a equação horária para o caso de amortecimento supercrítico.
Informações/dados que vamos usar (não estou resolvendo ainda, só listando):
  • Equação de movimento (modelo padrão) envolve três parâmetros: massa m, coeficiente de amortecimento c e constante elástica da mola k.
  • Vou considerar condições iniciais gerais: posição inicial \,x(0)=x_0 e velocidade inicial \,\dot{x}(0)=v_0.
  • O caso “amortecimento supercrítico” significa que o amortecimento é maior que o crítico (formalmente: o discriminante da equação característica é positivo; depois mostro a condição explícita).

Passo 2

Escrevendo a equação de movimento e explicando termos com calma.
A equação diferencial do oscilador harmônico linear com amortecimento viscoso é
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0.
Aqui:
  • m é a massa (unidades de massa).
  • c é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidades de força·tempo/posição).
  • k é a constante da mola (unidades de força/posição).
  • \ddot{x} é a aceleração, \dot{x} a velocidade.
Dividindo tudo por m para simplificar a forma,
\ddot{x}+\frac{c}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=0.
Defino duas quantidades úteis (que ajudam a interpretar):
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}\quad\text{(frequência natural sem amortecimento)}, \qquad \zeta=\frac{c}{2\sqrt{km}}=\frac{c}{2m\omega_0}\quad\text{(razão de amortecimento)}.êã
Com isso a equação fica
\ddot{x}+2\zeta\omega_0\dot{x}+\omega_0^2 x=0.

Passo 3

Resolver a equação usando a equação característica (passo padrão para ODEs lineares com coeficientes constantes).
Proponho solução do tipo exponencial x(t)=e^{r t}. Substituindo na equação normalizada obtemos a equação característica quadrática
r^2 + \frac{c}{m} r + \frac{k}{m} = 0.
Aplicando a fórmula quadrática, as raízes são
r_{1,2}=\frac{-\tfrac{c}{m}\pm\sqrt{\big(\tfrac{c}{m}\big)^2-4\cdot\tfrac{k}{m}}}{2} =\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}.
O caso supercrítico corresponde a ter discriminante positivo:
c^2-4mk>0,
portanto r_1 e r_2 são reais distintos e negativos (já que o termo -c/(2m) é negativo quando c>0).

Passo 4

Escrever a solução geral para raízes reais e distintas e justificar por que é essa forma.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_1 e r_2, duas soluções independentes são e^{r_1 t} e e^{r_2 t}. Pela linearidade, a solução geral é
x(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t},
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais. Em palavras: em regime supercrítico não há oscilações senoidais; a resposta é soma de duas exponenciais reais que decaem no tempo.

Passo 5

Determinar [A) e B a partir das condições iniciais (passo-a-passo algébrico, para você reproduzir na prova).
Usando x(0)=x_0 e \dot{x}(0)=v_0:
x(0)=A+B=x_0,
\dot{x}(t)=A r_1 e^{r_1 t}+B r_2 e^{r_2 t}\quad\Rightarrow\quad \dot{x}(0)=A r_1 + B r_2 = v_0.
Temos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} A+B=x_0,\\[4pt] A r_1 + B r_2 = v_0. \end{cases}
Resolvo isolando, por exemplo, A\]. Multiplico a primeira equação por \(r_2 e subtraio da segunda:
A r_1 + B r_2 - r_2(A+B) = v_0 - r_2 x_0
A(r_1-r_2)=v_0 - r_2 x_0.
Portanto
A=\frac{v_0 - r_2 x_0}{r_1-r_2}.
De forma análoga, isolando B (ou usando B=x_0-A) chega-se a
B=\frac{r_1 x_0 - v_0}{r_1-r_2}.
Essas fórmulas são bem úteis na prova: substitui os valores iniciais e as raízes r_1,r_2 e já tem a solução completa.]

Passo 6

Escrever a solução completa e também em termos de \omega_0 e \zeta (duas formas convenientes para interpretar).
Em termos das raízes r_{1,2}:
r_{1,2}=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}, \qquad x(t)=\frac{v_0 - r_2 x_0}{r_1-r_2}e^{r_1 t}+\frac{r_1 x_0 - v_0}{r_1-r_2}e^{r_2 t}.
Em termos de \omega_0 e \zeta (onde o caso supercrítico é \zeta>1):
r_{1,2}=-\zeta\omega_0\pm\omega_0\sqrt{\zeta^2-1},
e
x(t)=A e^{\left(-\zeta\omega_0+\omega_0\sqrt{\zeta^2-1}\right)t}+B e^{\left(-\zeta\omega_0-\omega_0\sqrt{\zeta^2-1}\right)t},
com A e B dados pelas expressões do passo anterior (substituindo r_1,r_2).

Passo 7

Interpretação física e dica prática para prova (como reconhecer e o que observar em respostas).
  • No regime supercrítico ( c^2>4mk ou \zeta>1) não há oscilações: a resposta é soma de duas exponenciais reais decrescentes.
  • A constante associada à exponencial com maior componente temporal negativa domina o decaimento rápido; a exponencial com menor valor absoluto de expoente decai mais lentamente e determina o comportamento a longo prazo.
  • Dica prática: ao ver a solução, cheque o discriminante c^2-4mk. Se for positivo, use as raízes reais; se for negativo, você tem um regime subcrítico (solução com senos e cossenos amortecidos); se for zero, caso crítico (solução com termo em t e^{rt}).
  • Não esqueça de calcular A e B com cuidado usando o sistema linear; anote r_1-r_2 para evitar sinais trocados.

Passo 8

Um exemplo numérico rápido (para fixar a técnica). Seja m=1, k=1, c=3 (aqui c^2-4mk=9-4=5>0, então é supercrítico). Com x_0=1 e v_0=0,
r_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}\quad\Rightarrow\quad r_1\approx\frac{-3+\sqrt{5}}{2},\; r_2\approx\frac{-3-\sqrt{5}}{2}.
As constantes ficam
A=\frac{0 - r_2\cdot1}{r_1-r_2}=\frac{-r_2}{r_1-r_2},\qquad B=\frac{r_1\cdot1 - 0}{r_1-r_2}=\frac{r_1}{r_1-r_2},
e a solução é x(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t}. É só substituir r_1,r_2 e fazer as contas (tudo em TeX na prova).

Resposta

x(t)=A e^{r_1 t}+B e^{r_2 t},
onde
r_{1,2}=\frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}, \qquad A=\frac{v_0 - r_2 x_0}{r_1-r_2}, \qquad B=\frac{r_1 x_0 - v_0}{r_1-r_2}.

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