Partindo da equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, encontre a a equação horária para os casos de:
amortecimento supercrítico
amortecimento supercrítico
Passo 1
O enunciado pede: a partir da equação de movimento de um oscilador harmônico amortecido, encontrar a equação horária para o caso de amortecimento supercrítico.
Informações/dados que vamos usar (não estou resolvendo ainda, só listando):
- Equação de movimento (modelo padrão) envolve três parâmetros: massa
, coeficiente de amortecimento e constante elástica da mola . - Vou considerar condições iniciais gerais: posição inicial
e velocidade inicial . - O caso “amortecimento supercrítico” significa que o amortecimento é maior que o crítico (formalmente: o discriminante da equação característica é positivo; depois mostro a condição explícita).
Passo 2
Escrevendo a equação de movimento e explicando termos com calma.
A equação diferencial do oscilador harmônico linear com amortecimento viscoso é
Aqui:
-
é a massa (unidades de massa). -
é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidades de força·tempo/posição). -
é a constante da mola (unidades de força/posição). -
é a aceleração, a velocidade.
Dividindo tudo por
para simplificar a forma,
Defino duas quantidades úteis (que ajudam a interpretar):
Com isso a equação fica
Passo 3
Resolver a equação usando a equação característica (passo padrão para ODEs lineares com coeficientes constantes).
Proponho solução do tipo exponencial
. Substituindo na equação normalizada obtemos a equação característica quadrática
Aplicando a fórmula quadrática, as raízes são
O caso supercrítico corresponde a ter discriminante positivo:
portanto
e
são reais distintos e negativos (já que o termo
é negativo quando
).
Passo 4
Escrever a solução geral para raízes reais e distintas e justificar por que é essa forma.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, duas soluções independentes são
e
. Pela linearidade, a solução geral é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Em palavras: em regime supercrítico não há oscilações senoidais; a resposta é soma de duas exponenciais reais que decaem no tempo.
Passo 5
Determinar [A) e
a partir das condições iniciais (passo-a-passo algébrico, para você reproduzir na prova).
Usando
e
:
Temos o sistema linear para
e
:
Resolvo isolando, por exemplo,
e subtraio da segunda:
Portanto
De forma análoga, isolando
(ou usando
) chega-se a
Essas fórmulas são bem úteis na prova: substitui os valores iniciais e as raízes
e já tem a solução completa.]
Passo 6
Escrever a solução completa e também em termos de
e
(duas formas convenientes para interpretar).
Em termos das raízes
:
Em termos de
e
(onde o caso supercrítico é
):
e
com
e
dados pelas expressões do passo anterior (substituindo
).
Passo 7
Interpretação física e dica prática para prova (como reconhecer e o que observar em respostas).
- No regime supercrítico (
ou ) não há oscilações: a resposta é soma de duas exponenciais reais decrescentes. - A constante associada à exponencial com maior componente temporal negativa domina o decaimento rápido; a exponencial com menor valor absoluto de expoente decai mais lentamente e determina o comportamento a longo prazo.
- Dica prática: ao ver a solução, cheque o discriminante
. Se for positivo, use as raízes reais; se for negativo, você tem um regime subcrítico (solução com senos e cossenos amortecidos); se for zero, caso crítico (solução com termo em ). - Não esqueça de calcular
e com cuidado usando o sistema linear; anote para evitar sinais trocados.
Passo 8
Um exemplo numérico rápido (para fixar a técnica). Seja
,
,
(aqui
, então é supercrítico). Com
e
,
As constantes ficam
e a solução é
. É só substituir
e fazer as contas (tudo em TeX na prova).
Resposta
onde