Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação:
x=(6.0 m) \cos \left[\left(3 \pi \frac{r a d}{s}\right) t+\pi / 3 r a d\right]. Encontre:
a) O deslocamento para t=2.0 \mathrm{~s},
b) A velocidade para t=2.0 \mathrm{~s},
c) A aceleração para t=2.0 \mathrm{~s},
d) Esboce um gráfico de x(t).

Passo 1

O enunciado dá a lei do movimento e pede quatro coisas em t=2{,}0\\ \text{s}:
x=(6{,}0\\ \text{m})\cos\!\left[\left(3\pi\\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}\right)t+\frac{\pi}{3}\\ \text{rad}\right].
As perguntas são:
(a) calcular o deslocamento x em t=2{,}0\\ \text{s};
(b) calcular a velocidade v em t=2{,}0\\ \text{s};
(c) calcular a aceleração a em t=2{,}0\\ \text{s};
(d) esboçar (descrever) o gráfico de x(t).
Informações e parâmetros extraídos da expressão (peguei-os do enunciado):
  • amplitude A=6{,}0\\ \text{m};
  • pulsação (frequência angular) \omega=3\pi\\ \text{rad/s};
  • fase inicial \varphi=\pi/3\\ \text{rad};
  • instante pedido t=2{,}0\\ \text{s}.

Passo 2

Breve revisão didática (como proceder na prova):
  • Movimento harmônico simples na forma x(t)=A\cos(\omega t+\varphi). Aqui:
    • A é a amplitude (máximo deslocamento em módulo);
    • \omega é a pulsação, em \text{rad/s};
    • \varphi é a fase inicial, em radianos.
  • Velocidade e aceleração obtêm-se por diferenciação temporal usando regra da cadeia:
    • derivada de \cos(u) em relação a t é -\sin(u)\cdot u';
    • derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u'.
  • Portanto, para x(t)=A\cos(\omega t+\varphi) vale: v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
Explico curtinho: multiplicamos por \omega por causa da derivada do argumento \omega t+\varphi.

Passo 3

Calculando o deslocamento em t=2{,}0\\ \text{s}.
  1. Avaliar o argumento do cosseno:
\omega t+\varphi = (3\pi)(2{,}0)+\frac{\pi}{3}=6\pi+\frac{\pi}{3}.
  1. Reduzir esse ângulo módulo 2\pi para usar identidades trigonométricas. Escreve-se em terços de \pi:
6\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{18\pi}{3}+\frac{\pi}{3}=\frac{19\pi}{3}.
Subtrai-se 2\pi=\frac{6\pi}{3} vezes um inteiro: \frac{19\pi}{3}-3\cdot\frac{6\pi}{3}=\frac{19\pi}{3}-\frac{18\pi}{3}=\frac{\pi}{3}.
Logo o argumento é equivalente a \frac{\pi}{3}.
  1. Usar \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}. Então
x(2{,}0)=A\cos(\omega\cdot2{,}0+\varphi)=6{,}0\cdot\frac{1}{2}=3{,}0\\ \text{m}.

Passo 4

Calculando a velocidade em t=2{,}0\\ \text{s}.
  1. Fórmula da velocidade já dada:
v(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  1. No instante, o argumento é equivalente a \frac{\pi}{3} (veja passo anterior). E \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
  2. Substituindo A=6{,}0 e \omega=3\pi:
v(2{,}0)=-6{,}0\cdot(3\pi)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Simplificando:
v(2{,}0)=-\frac{6\cdot3\pi\sqrt{3}}{2}=-9\pi\sqrt{3}\\ \text{m/s}.
Cálculo numérico aproximado: \pi\approx3{,}1416 e \sqrt{3}\approx1{,}7321, então
v(2{,}0)\approx -9\cdot3{,}1416\cdot1{,}7321\approx -48{,}97\\ \text{m/s}.

Passo 5

Calculando a aceleração em t=2{,}0\\ \text{s}.
  1. Fórmula:
a(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).
  1. No instante, \cos(\omega t+\varphi)=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2}. E \omega^{2}=(3\pi)^{2}=9\pi^{2}.
  2. Substituindo:
a(2{,}0)=-6{,}0\cdot9\pi^{2}\cdot\frac{1}{2}=-27\pi^{2}\\ \text{m/s}^2.
Cálculo numérico aproximado: \pi^{2}\approx9{,}8696, assim
a(2{,}0)\approx -27\cdot9{,}8696\approx -266{,}48\\ \text{m/s}^2.

Passo 6

Esboço do gráfico x(t) e comentários práticos (como desenhar na prova):
  • Período e frequência: T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\dfrac{2\pi}{3\pi}=\dfrac{2}{3}\\ \text{s}\approx0{,}6667\\ \text{s}. Ou seja, oscila rápido (três ciclos em 2{,}0\\ \text{s}: 2{,}0/T=3).
  • Amplitude: A=6{,}0\\ \text{m}. O eixo x (deslocamento) varia entre -6{,}0\\ \text{m} e +6{,}0\\ \text{m}.
  • Fase inicial: \varphi=\pi/3 desloca o cosseno; no instante t=0 tem-se x(0)=6{,}0\cos(\pi/3)=3{,}0\\ \text{m}.
  • Como desenhar: traçar o eixo horizontal tempo t (marcar t=0, t=2/3\\ \text{s}, t=4/3\\ \text{s}, t=2{,}0\\ \text{s} etc.) e o eixo vertical x com marcas em -6, 0, +6. Desenhar uma onda cosseno com período 2/3 segundo, começando em x(0)=3{,}0\\ \text{m} (não começa no pico). Indicar no gráfico o ponto em t=2{,}0\\ \text{s} com x=3{,}0\\ \text{m} (é coincidente porque t=2{,}0 corresponde a 3 períodos completos a partir de t=0).
  • Observação útil para prova: marcar máximos quando \omega t+\varphi=2\pi k, mínimos quando \omega t+\varphi=\pi+2\pi k, e zeros quando \omega t+\varphi=\pi/2+k\pi.

Resposta

(a) x(2{,}0)=3{,}0\\ \text{m}
(b) v(2{,}0)=-9\pi\sqrt{3}\\ \text{m/s}\approx -48{,}97\\ \text{m/s}
(c) a(2{,}0)=-27\pi^{2}\\ \text{m/s}^2\approx -266{,}48\\ \text{m/s}^2
(d) Gráfico: cosseno de amplitude 6{,}0\\ \text{m}, período T=\tfrac{2}{3}\\ \text{s}, fase inicial \varphi=\tfrac{\pi}{3}; em t=0 e em t=2{,}0\\ \text{s} tem x=3{,}0\\ \text{m}.

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