Um corpo oscila com movimento harmônico simples de acordo com a equação:
. Encontre:
a) O deslocamento para
,
b) A velocidade para
,
c) A aceleração para
,
d) Esboce um gráfico de
.
a) O deslocamento para
b) A velocidade para
c) A aceleração para
d) Esboce um gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a lei do movimento e pede quatro coisas em
:
As perguntas são:
(a) calcular o deslocamento em
;
(b) calcular a velocidade em
;
(c) calcular a aceleração em
;
(d) esboçar (descrever) o gráfico de .
(a) calcular o deslocamento
(b) calcular a velocidade
(c) calcular a aceleração
(d) esboçar (descrever) o gráfico de
Informações e parâmetros extraídos da expressão (peguei-os do enunciado):
- amplitude
; - pulsação (frequência angular)
; - fase inicial
; - instante pedido
.
Passo 2
Breve revisão didática (como proceder na prova):
- Movimento harmônico simples na forma
. Aqui: -
é a amplitude (máximo deslocamento em módulo); -
é a pulsação, em ; -
é a fase inicial, em radianos.
-
- Velocidade e aceleração obtêm-se por diferenciação temporal usando regra da cadeia:
- derivada de
em relação a é ; - derivada de
é .
- derivada de
- Portanto, para
vale:
Explico curtinho: multiplicamos por
por causa da derivada do argumento
.
Passo 3
Calculando o deslocamento em
.
- Avaliar o argumento do cosseno:
- Reduzir esse ângulo módulo
para usar identidades trigonométricas. Escreve-se em terços de :
Subtrai-se
vezes um inteiro:
.
Logo o argumento é equivalente a .
Logo o argumento é equivalente a
- Usar
. Então
Passo 4
Calculando a velocidade em
.
- Fórmula da velocidade já dada:
- No instante, o argumento é equivalente a
(veja passo anterior). E . - Substituindo
e :
Simplificando:
Cálculo numérico aproximado:
e
, então
Passo 5
Calculando a aceleração em
.
- Fórmula:
- No instante,
. E . - Substituindo:
Cálculo numérico aproximado:
, assim
Passo 6
Esboço do gráfico
e comentários práticos (como desenhar na prova):
- Período e frequência:
. Ou seja, oscila rápido (três ciclos em : ). - Amplitude:
. O eixo (deslocamento) varia entre e . - Fase inicial:
desloca o cosseno; no instante tem-se . - Como desenhar: traçar o eixo horizontal tempo
(marcar , , , etc.) e o eixo vertical com marcas em , , . Desenhar uma onda cosseno com período segundo, começando em (não começa no pico). Indicar no gráfico o ponto em com (é coincidente porque corresponde a 3 períodos completos a partir de ). - Observação útil para prova: marcar máximos quando
, mínimos quando , e zeros quando .
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Gráfico: cosseno de amplitude , período
, fase inicial
; em
e em
tem
.
(b)
(c)
(d) Gráfico: cosseno de amplitude