Considere uma parábola cujo vértice é (0,0) e cujo foco é o ponto F=(0,3).
Determine o valor da coordenada y do ponto da parábola cuja abscissa é x=3.
◯ a. y=\frac{9}{4}
◯ b. y=\frac{1}{4}
◯ c. y=\frac{3}{4}
◯ d. y=9
◯ e. y=3

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Vértice da parábola: (0,0).
  • Foco da parábola: F=(0,3).
  • Pergunta: determinar a coordenada y do ponto da parábola cuja abscissa é x=3.
  • Alternativas fornecidas:
    a. y=\dfrac{9}{4}
    b. y=\dfrac{1}{4}
    c. y=\dfrac{3}{4}
    d. y=9
    e. y=3

Passo 2

Entender a posição relativa entre vértice e foco para extrair o parâmetro p.
  • O parâmetro p é a distância do vértice ao foco ao longo do eixo da parábola. Aqui o vértice é (0,0) e o foco é (0,3).
  • Portanto p vale a distância vertical entre esses pontos:
p=3.

Passo 3

Recordar e derivar a equação padrão (aula rápida e prática).
  • Definição utilizada: a parábola é o lugar geométrico dos pontos (x,y) que têm a mesma distância ao foco e à diretriz.
  • Para uma parábola com vértice em (0,0), foco em (0,p) e eixo vertical, a diretriz é a reta horizontal y=-p.
  • Distância de um ponto genérico (x,y) ao foco (0,p): \sqrt{x^{2}+(y-p)^{2}}.
  • Distância de (x,y) à diretriz y=-p: a distância vertical é y-(-p)=y+p (assumindo y\ge -p).
  • Igualando as distâncias e quadrando para eliminar a raiz:
\sqrt{x^{2}+(y-p)^{2}}=y+p
x^{2}+(y-p)^{2}=(y+p)^{2}.
  • Expandindo ambos os lados e simplificando (vou mostrar passo a passo):
x^{2} + (y^{2}-2py+p^{2}) = (y^{2}+2py+p^{2})
x^{2} -2py = 2py
x^{2} = 4py.
  • Essa é a forma canônica da parábola com vértice na origem e foco em (0,p): \;x^{2}=4py.
  • Aqui x é a abscissa do ponto que estamos estudando e y é a ordenada que queremos encontrar; p é o parâmetro (distância vértice–foco).

Passo 4

Substituir o valor de p obtido no Passo 2 na equação canônica.
  • Como p=3, a equação da parábola fica:
x^{2}=4\cdot 3\cdot y
x^{2}=12y.
  • Isolando y em função de x:
y=\dfrac{x^{2}}{12}.

Passo 5

Calcular y para a abscissa x=3.
  • Substituindo x=3 em \;y=\dfrac{x^{2}}{12}:
y=\dfrac{3^{2}}{12}=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}.

Resposta

c. y=\dfrac{3}{4}

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