Questão 1
Ainda não respondida
Vale 1,00 ponto(s).
□ Marcar questão
Considere uma parábola cujo vértice é
e cuja diretriz é a reta
.
Determine a equação reduzida da parábola.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Vale 1,00 ponto(s).
□ Marcar questão
Determine a equação reduzida da parábola.
◯ a.
◯ b.
◯ c.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação reduzida da parábola cujo vértice é
e cuja diretriz é a reta
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Vértice:
. - Diretriz:
. - A pergunta é escolher a equação reduzida da parábola (há opções múltipla escolha).
Passo 2
Lembrando a definição geométrica de parábola: é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Aqui o vértice está em
e a diretriz é uma reta horizontal
. Isso implica que o eixo da parábola é vertical (reta
) e o foco está sobre esse eixo, simetricamente em relação ao vértice em relação à diretriz.
Calcule a posição do foco: a distância do vértice
até a diretriz
é
unidades (porque
). O foco fica do outro lado do vértice, à mesma distância, ou seja, a
unidades acima do vértice. Assim o foco é o ponto
.
Conclusão: foco
, vértice
. A parábola abre para cima (porque o foco está acima do vértice).
Passo 3
Agora uso a condição de distância igual do ponto genérico
ao foco e à diretriz.
Distância de
ao foco
:
Distância de
à reta diretriz
: como a reta é horizontal, a distância é o módulo da diferença das ordens
:
Igualando as distâncias:
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é seguro, mas depois devemos lembrar da condição do sinal; aqui sabemos que a parábola abre para cima e os pontos relevantes terão
perto do vértice, de toda forma a simplificação dará a mesma equação):
Agora desenvolvemos ambos os quadrados:
Cancelar
e
dos dois lados:
Somando
aos dois lados:
Essa é a equação reduzida da parábola.
Passo 4
Verificação rápida pela forma padrão: para uma parábola com vértice em
e foco em
, a equação padrão é
Aqui
, então
confirmando o resultado anterior.
Passo 5
Interpretação: a parábola tem eixo vertical, abre para cima, e sua equação reduzida é
. Entre as opções dadas, isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a.