Questão 1

Ainda não respondida
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Considere uma parábola cujo vértice é (0,0) e cuja diretriz é a reta
y=-2.
Determine a equação reduzida da parábola.
◯ a. x^{2}=8 y
◯ b. y^{2}=-8 x
◯ c. x^{2}=-8 y
◯ d. x^{2}=4 y
◯ e. y^{2}=8 x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação reduzida da parábola cujo vértice é (0,0) e cuja diretriz é a reta y=-2.
Informações dadas:
  • Vértice: (0,0).
  • Diretriz: y=-2.
  • A pergunta é escolher a equação reduzida da parábola (há opções múltipla escolha).

Passo 2

Lembrando a definição geométrica de parábola: é o lugar geométrico dos pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz. Aqui o vértice está em (0,0) e a diretriz é uma reta horizontal y=-2. Isso implica que o eixo da parábola é vertical (reta x=0) e o foco está sobre esse eixo, simetricamente em relação ao vértice em relação à diretriz.
Calcule a posição do foco: a distância do vértice (0,0) até a diretriz y=-2 é 2 unidades (porque 0-(-2)=2). O foco fica do outro lado do vértice, à mesma distância, ou seja, a 2 unidades acima do vértice. Assim o foco é o ponto (0,2).
Conclusão: foco (0,2), vértice (0,0). A parábola abre para cima (porque o foco está acima do vértice).

Passo 3

Agora uso a condição de distância igual do ponto genérico (x,y) ao foco e à diretriz.
Distância de (x,y) ao foco (0,2):
\sqrt{(x-0)^{2}+(y-2)^{2}}=\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}.
Distância de (x,y) à reta diretriz y=-2: como a reta é horizontal, a distância é o módulo da diferença das ordens y:
\text{dist} = |y-(-2)| = |y+2|.
Igualando as distâncias:
\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}} = |y+2|.
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado (isso é seguro, mas depois devemos lembrar da condição do sinal; aqui sabemos que a parábola abre para cima e os pontos relevantes terão y\ge 0 perto do vértice, de toda forma a simplificação dará a mesma equação):
x^{2}+(y-2)^{2} = (y+2)^{2}.
Agora desenvolvemos ambos os quadrados:
x^{2} + (y^{2} -4y +4) = y^{2} +4y +4.
Cancelar y^{2} e 4 dos dois lados:
x^{2} -4y = 4y.
Somando 4y aos dois lados:
x^{2} = 8y.
Essa é a equação reduzida da parábola.

Passo 4

Verificação rápida pela forma padrão: para uma parábola com vértice em (0,0) e foco em (0,p), a equação padrão é
x^{2} = 4p\,y.
Aqui p=2, então
x^{2} = 4\cdot 2 \, y = 8y,
confirmando o resultado anterior.

Passo 5

Interpretação: a parábola tem eixo vertical, abre para cima, e sua equação reduzida é \,x^{2}=8y. Entre as opções dadas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a. x^{2}=8 y

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