2.1 Considere uma parede plana de espessura L=0,25 \mathrm{~m} e condutividade térmica constante k=50 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K}, submetida a condução unidimensional em regime permanente, sem geração interna de calor. Para cada uma das condições térmicas indicadas a seguir, determine o gradiente de temperatura \mathrm{d} T / \mathrm{d} x e o fluxo de calor por condução q_{x}^{\prime \prime} : (a) T_{1}=50^{\circ} \mathrm{C} e T_{2}=-20^{\circ} \mathrm{C}; (b) T_{1}=-30^{\circ} \mathrm{C} \mathrm{e} T_{2}=-10^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens indicados:
  • Espessura da parede: L=0,25\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica constante: k=50\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Condução unidimensional em regime permanente, sem geração interna de calor.
  • Devem ser determinados, para cada caso abaixo, o gradiente de temperatura \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} e o fluxo de calor por condução q_{x}^{\prime\prime}:
    • (a) T_{1}=50^\circ\mathrm{C} e T_{2}=-20^\circ\mathrm{C}.
    • (b) T_{1}=-30^\circ\mathrm{C} e T_{2}=-10^\circ\mathrm{C}.
Observação de posição (necessária para resolver): assumir que T_{1} é a temperatura na face x=0 e T_{2} é a temperatura na face x=L.

Passo 2

Qual é a lei física que relaciona essas quantidades? Usamos a Lei de Fourier para condução unidimensional em regime estacionário:
q_{x}^{\prime\prime} = -k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}.
Explicando cada símbolo:
  • q_{x}^{\prime\prime} é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: \mathrm{W}/\mathrm{m}^2). O sinal positivo indica fluxo no sentido crescente de x.
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} é o gradiente de temperatura ( ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m} ou \mathrm{K}/\mathrm{m}; diferença de uma unidade de temperatura por unidade de comprimento).
    A Lei de Fourier diz que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura; por isso o sinal negativo.

Passo 3

Por que a distribuição de temperatura é linear? Em regime permanente, sem geração interna e em 1D, a equação de condução reduz-se a
\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}=0.
Integrando duas vezes obtemos uma solução linear:
T(x)=A x + B,
onde A e B são constantes determinadas pelas condicionalizações de contorno. Assim o gradiente \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} é constante em toda a espessura.

Passo 4

Determinar explicitamente o gradiente e o fluxo em função de T_{1},T_{2},L,k.
A partir da solução linear e das temperaturas nas faces:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}.
Substituindo na Lei de Fourier:
q_{x}^{\prime\prime} = -k\,\frac{T_{2}-T_{1}}{L} = k\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}.
Interpretação do sinal:
  • Se \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}<0 (temperatura decresce com x), então q_{x}^{\prime\prime}>0: calor flui no sentido + x (da face x=0 para x=L).
  • Se \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}>0, então q_{x}^{\prime\prime}<0: calor flui no sentido -x (de x=L para x=0).

Passo 5

Cálculo para o caso (a): T_{1}=50^\circ\mathrm{C}, T_{2}=-20^\circ\mathrm{C}.
  1. Diferença de temperaturas:
T_{2}-T_{1} = -20 - 50 = -70\\ \,^\circ\mathrm{C}.
  1. Gradiente:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = \frac{T_{2}-T_{1}}{L} = \frac{-70}{0,25} = -280\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
  1. Fluxo de calor:
q_{x}^{\prime\prime} = -k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = -50\cdot(-280)=14000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Interpretação rápida: como \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}<0, o calor percorre no sentido + x (da face com T_{1}=50^\circ\mathrm{C} para a face com T_{2}=-20^\circ\mathrm{C}).

Passo 6

Cálculo para o caso (b): T_{1}=-30^\circ\mathrm{C}, T_{2}=-10^\circ\mathrm{C}.
  1. Diferença de temperaturas:
T_{2}-T_{1} = -10 - (-30) = 20\\ \,^\circ\mathrm{C}.
  1. Gradiente:
\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = \frac{T_{2}-T_{1}}{L} = \frac{20}{0,25} = 80\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}.
  1. Fluxo de calor:
q_{x}^{\prime\prime} = -k\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = -50\cdot 80 = -4000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Interpretação rápida: como \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}>0, o calor flui no sentido -x (da face com T_{2}=-10^\circ\mathrm{C} para a face com T_{1}=-30^\circ\mathrm{C}).

Passo 7

Checagem de unidades e interpretação final: os gradientes estão em \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m} (equivalente a \mathrm{K}/\mathrm{m}) e os fluxos em \mathrm{W}/\mathrm{m}^2. Sinais positivos em q_{x}^{\prime\prime} indicam fluxo no sentido + x, sinais negativos indicam fluxo no sentido -x. Força de memória: q_{x}^{\prime\prime}=k\,(T_{1}-T_{2})/L dá o módulo e já incorpora o sentido pela diferença de temperaturas.

Resposta

(a) \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = -280\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}; \;q_{x}^{\prime\prime}=14000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2
(b) \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x} = 80\\ \,^\circ\mathrm{C}/\mathrm{m}; \;q_{x}^{\prime\prime}=-4000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2

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