2.1 Considere uma parede plana de espessura
e condutividade térmica constante
, submetida a condução unidimensional em regime permanente, sem geração interna de calor. Para cada uma das condições térmicas indicadas a seguir, determine o gradiente de temperatura
e o fluxo de calor por condução
: (a)
e
; (b)
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens indicados:
- Espessura da parede:
. - Condutividade térmica constante:
. - Condução unidimensional em regime permanente, sem geração interna de calor.
- Devem ser determinados, para cada caso abaixo, o gradiente de temperatura
e o fluxo de calor por condução : - (a)
e . - (b)
e .
- (a)
Observação de posição (necessária para resolver): assumir que
é a temperatura na face
e
é a temperatura na face
.
Passo 2
Qual é a lei física que relaciona essas quantidades? Usamos a Lei de Fourier para condução unidimensional em regime estacionário:
Explicando cada símbolo:
-
é o fluxo de calor por unidade de área (unidade: ). O sinal positivo indica fluxo no sentido crescente de . -
é a condutividade térmica ( ). -
é o gradiente de temperatura ( ou ; diferença de uma unidade de temperatura por unidade de comprimento).
A Lei de Fourier diz que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura; por isso o sinal negativo.
Passo 3
Por que a distribuição de temperatura é linear? Em regime permanente, sem geração interna e em 1D, a equação de condução reduz-se a
Integrando duas vezes obtemos uma solução linear:
onde
e
são constantes determinadas pelas condicionalizações de contorno. Assim o gradiente
é constante em toda a espessura.
Passo 4
Determinar explicitamente o gradiente e o fluxo em função de
.
A partir da solução linear e das temperaturas nas faces:
A partir da solução linear e das temperaturas nas faces:
Substituindo na Lei de Fourier:
Interpretação do sinal:
- Se
(temperatura decresce com ), então : calor flui no sentido + (da face para ). - Se
, então : calor flui no sentido (de para ).
Passo 5
Cálculo para o caso (a):
,
.
- Diferença de temperaturas:
- Gradiente:
- Fluxo de calor:
Interpretação rápida: como
, o calor percorre no sentido +
(da face com
para a face com
).
Passo 6
Cálculo para o caso (b):
,
.
- Diferença de temperaturas:
- Gradiente:
- Fluxo de calor:
Interpretação rápida: como
, o calor flui no sentido
(da face com
para a face com
).
Passo 7
Checagem de unidades e interpretação final: os gradientes estão em
(equivalente a
) e os fluxos em
. Sinais positivos em
indicam fluxo no sentido +
, sinais negativos indicam fluxo no sentido
. Força de memória:
dá o módulo e já incorpora o sentido pela diferença de temperaturas.
Resposta
(a)
;
(b)
;