As paredes externas de uma casa são construidas usando uma camada de tijolo de 4 in de espessura, uma camada de \frac{1}{2} in de colotex, um espaço de ar estagnado com 3 in de espessura e uma camada de \frac{1}{4} in de painel de madeira, nessa ordem. Se as temperaturas externa e interna do ar forem 30 e 75{ }^{\circ} \mathrm{F} e os coeficientes convectivos de transferência de calor forem 7 e 2 \mathrm{BTU} / \mathrm{h} \mathrm{ft}{ }^{\circ} \mathrm{F}, respectivamente. Sabendo que a resistência de contato é igual a 0,2{ }^{\circ} \mathrm{F} \mathrm{h} / \mathrm{BTU}, Quais as temperaturas das superficies da parede externa ( \mathrm{T}_{\mathrm{c}} ) e interna ( \mathrm{T}_{\mathrm{i}} )? ( \mathbf{1 , 5} pontos )
Condutividades ( \mathrm{Btu} / \mathrm{h} \mathrm{ft}^{\circ} \mathrm{F} )
Tijolo 0,38
Colotex (sólido) 0,028
Ar 0,015
Madeira 0,12
a) \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=30,3{ }^{\circ} \mathrm{F} e \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=73,9{ }^{\circ} \mathrm{F}
b) \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=35,5^{\circ} \mathrm{Fe} \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=71,2^{\circ} \mathrm{F}
c) \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=38,0^{\circ} \mathrm{Fe} \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=70,5^{\circ} \mathrm{F}
d) \mathrm{T}_{\mathrm{e}}=40,5^{\circ} \mathrm{Fe} \mathrm{T}_{\mathrm{i}}=68,3^{\circ} \mathrm{F}
e) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que eu peguei do enunciado):
  • Temperaturas do ar:
    • Temperatura externa do ar: T_{\text{a,ext}}=30^\circ\mathrm{F}.
    • Temperatura interna do ar: T_{\text{a,int}}=75^\circ\mathrm{F}.
  • Coeficientes convecção (por unidade de área):
    • Externo: h_{\text{ext}}=7\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}^2\,^\circ\mathrm{F}).
    • Interno: h_{\text{int}}=2\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}^2\,^\circ\mathrm{F}).
  • Resistência de contato (por unidade de área): R_{\text{cont}}=0,2\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
  • Camadas da parede (da externa para a interna), com espessuras e condutividades (peguei as condutividades da tabela dada):
    1. Tijolo: espessura L_{\text{tj}}=4\\ \mathrm{in}.
      • condutividade k_{\text{tj}}=0,38\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}).
    2. Colotex (sólido): espessura L_{\text{col}}=\tfrac{1}{2}\\ \mathrm{in}.
      • k_{\text{col}}=0,028\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}).
    3. Espaço de ar estagnado: espessura L_{\text{ar}}=3\\ \mathrm{in}.
      • condutividade do ar k_{\text{ar}}=0,015\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}).
    4. Painel de madeira: espessura L_{\text{md}}=\tfrac{1}{4}\\ \mathrm{in}.
      • k_{\text{md}}=0,12\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}).
  • O que se pede: temperaturas das superfícies da parede externa e interna (denotadas no enunciado por T_c e T_i, ou nas alternativas por T_e e T_i). Vou calcular as temperaturas das superfícies (por unidade de área).
Observação: vou trabalhar por unidade de área ( 1\\ \mathrm{ft}^2), portanto as resistências serão em ^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vou usar (aula rápida, sem pular passos):
  • Para transferência de calor unidimensional perpendicular às camadas, as resistências térmicas ficam em série. A taxa de calor por unidade de área q (em \mathrm{Btu}/\mathrm{h}\,\mathrm{ft}^2) é dada por
q=\frac{T_{\text{a,int}}-T_{\text{a,ext}}}{R_{\text{total}}},
onde R_{\text{total}} é a soma de todas as resistências (convecção externa, condução das camadas, resistência de contato, e convecção interna).
  • Resistência por convecção (por unidade de área):
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h},
onde h é o coeficiente convectivo ( \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}^2\,^\circ\mathrm{F})).
  • Resistência por condução de uma placa de espessura L e condutividade k (por unidade de área):
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k},
onde L e k devem estar em unidades consistentes (usar pés para L porque k está em \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F})).
  • Depois de achar q, as temperaturas das superfícies vão ser obtidas somando ou subtraindo as quedas de temperatura sucessivas: ao ir do ar externo para o ar interno, cada queda \Delta T através de uma resistência R é \Delta T=qR. Assim:
    • Temperatura da superfície externa T_c = T_{\text{a,ext}} + q R_{\text{conv,ext}}.
    • Temperatura da superfície interna T_i = T_{\text{a,int}} - q R_{\text{conv,int}}.
    • Também posso calcular temperatura em cada interface adicionando qR progressivamente ao T_{\text{a,ext}}.

Passo 3

Converter espessuras de polegadas para pés (já que k está em pés):
  • 4\\ \mathrm{in} = \dfrac{4}{12}=0,3333\\ \mathrm{ft}.
  • \tfrac{1}{2}\\ \mathrm{in} = \dfrac{0,5}{12}=0,0416667\\ \mathrm{ft}.
  • 3\\ \mathrm{in} = \dfrac{3}{12}=0,25\\ \mathrm{ft}.
  • \tfrac{1}{4}\\ \mathrm{in} = \dfrac{0,25}{12}=0,0208333\\ \mathrm{ft}.
Agora calculo cada resistência (por unidade de área):
  • Convecção externa:
R_{\text{conv,ext}}=\frac{1}{h_{\text{ext}}}=\frac{1}{7}=0,142857\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
  • Tijolo (condução):
R_{\text{tj}}=\frac{L_{\text{tj}}}{k_{\text{tj}}}=\frac{0,3333}{0,38}=0,877193\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
  • Resistência de contato (dada):
R_{\text{cont}}=0,2\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
  • Colotex:
R_{\text{col}}=\frac{0,0416667}{0,028}=1,488095\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
  • Ar estagnado:
R_{\text{ar}}=\frac{0,25}{0,015}=16,666667\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
  • Madeira:
R_{\text{md}}=\frac{0,0208333}{0,12}=0,173611\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
  • Convecção interna:
R_{\text{conv,int}}=\frac{1}{h_{\text{int}}}=\frac{1}{2}=0,5\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}.
(Na prova: sempre calcule L em pés quando k está em \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}\,^\circ\mathrm{F}).)

Passo 4

Somar todas as resistências em série para obter R_{\text{total}}:
\begin{aligned} R_{\text{total}} &= R_{\text{conv,ext}} + R_{\text{tj}} + R_{\text{cont}} + R_{\text{col}} + R_{\text{ar}} + R_{\text{md}} + R_{\text{conv,int}}\\[4pt] &=0,142857+0,877193+0,2+1,488095+16,666667+0,173611+0,5\\[4pt] &\approx20,048423\\ \!^\circ\mathrm{F}\,\mathrm{h}/\mathrm{Btu}. \end{aligned}]

Passo 5

Calcular o fluxo de calor por unidade de área q usando a diferença de temperatura entre os ares:
q=\frac{T_{\text{a,int}}-T_{\text{a,ext}}}{R_{\text{total}}}=\frac{75-30}{20,048423}=\frac{45}{20,048423}\approx2,24494\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\,\mathrm{ft}^2).
Explicação rápida: q é o fluxo que atravessa toda a série de resistências; é o mesmo através de cada camada.

Passo 6

Agora encontro as temperaturas das superfícies somando as quedas de temperatura progressivas a partir do ar externo (cada queda é \Delta T=qR). Vou calcular com boa precisão e depois arredondar para uma casa decimal (para comparar com as alternativas).
  1. Queda na convecção externa:
\Delta T_{\text{conv,ext}}=qR_{\text{conv,ext}}=2,24494\times0,142857\approx0,32071^\circ\mathrm{F}.
Temperatura da superfície externa (superfície do tijolo voltada ao exterior), que chamei de T_c:
T_c=T_{\text{a,ext}}+\Delta T_{\text{conv,ext}}=30+0,32071\approx30,3207^\circ\mathrm{F}.
  1. Queda através do tijolo:
\Delta T_{\text{tj}}=qR_{\text{tj}}=2,24494\times0,877193\approx1,96806^\circ\mathrm{F}.
Temperatura após o tijolo (interface tijolo/contato):
T_{\text{intf1}}=T_c+\Delta T_{\text{tj}}\approx30,3207+1,96806\approx32,2888^\circ\mathrm{F}.
  1. Queda na resistência de contato:
\Delta T_{\text{cont}}=qR_{\text{cont}}=2,24494\times0,2\approx0,44899^\circ\mathrm{F}.
Temperatura após o contato:
T_{\text{intf2}}=T_{\text{intf1}}+\Delta T_{\text{cont}}\approx32,2888+0,44899\approx32,7378^\circ\mathrm{F}.
  1. Queda através do colotex:
\Delta T_{\text{col}}=qR_{\text{col}}=2,24494\times1,488095\approx3,34105^\circ\mathrm{F}.
Temperatura após o colotex (antes do ar):
T_{\text{intf3}}=T_{\text{intf2}}+\Delta T_{\text{col}}\approx32,7378+3,34105\approx36,0789^\circ\mathrm{F}.
  1. Queda através do ar estagnado:
\Delta T_{\text{ar}}=qR_{\text{ar}}=2,24494\times16,666667\approx37,41567^\circ\mathrm{F}.
Temperatura após o ar (entrada na madeira):
T_{\text{intf4}}=T_{\text{intf3}}+\Delta T_{\text{ar}}\approx36,0789+37,41567\approx73,4946^\circ\mathrm{F}.
  1. Queda através da madeira:
\Delta T_{\text{md}}=qR_{\text{md}}=2,24494\times0,173611\approx0,38991^\circ\mathrm{F}.
Temperatura da superfície interna (lado da madeira voltado para o interior), que chamei de T_i (antes da convecção interna):
T_i=T_{\text{intf4}}+\Delta T_{\text{md}}\approx73,4946+0,38991\approx73,8845^\circ\mathrm{F}.
Verificação rápida com a convecção interna:
\Delta T_{\text{conv,int}}=qR_{\text{conv,int}}=2,24494\times0,5\approx1,12247^\circ\mathrm{F},
e então
T_i+\Delta T_{\text{conv,int}} \approx73,8845+1,12247\approx75,007\approx75^\circ\mathrm{F},
pequena diferença por arredondamento — está consistente.

Passo 7

Arredondando para uma casa decimal (como nas alternativas):
  • Superfície externa: T_c\approx30,3^\circ\mathrm{F}.
  • Superfície interna: T_i\approx73,9^\circ\mathrm{F}.
Comparando com as alternativas, isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

(a) \mathrm{T}_{e}=30{,}3^\circ\mathrm{F} e \mathrm{T}_{i}=73{,}9^\circ\mathrm{F}

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