Considere uma parede plana, com espessura L , construída de um material com condutividade térmica k. Dado um fluxo de calor por condução em regime permanente através da parede. Calcule:
a. fluxo de calor que atravessa a parede; (Solução Algébrica).
b. perfil de temperatura na parede. (Solução Algébrica).
a. fluxo de calor que atravessa a parede; (Solução Algébrica).
b. perfil de temperatura na parede. (Solução Algébrica).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos (pegos do enunciado):
- Espessura da parede:
. - Condutividade térmica do material:
. - Processo: condução térmica em regime permanente (estado estacionário), unidimensional através da espessura da parede.
- Espessura da parede:
- Quantidades que o enunciado pede:
- (a) o fluxo de calor que atravessa a parede (resolver algebraicamente);
- (b) o perfil de temperatura na parede (resolver algebraicamente).
Observação necessária para resolver de forma simbólica: o problema não especificou temperaturas nas superfícies. Vou introduzir duas temperaturas de contorno usuais e necessárias para a solução simbólica:
- Temperatura na face em
: . - Temperatura na face em
: .
Também vou distinguir duas grandezas de “fluxo”:
- Fluxo de calor por unidade de área (fluxo superficial):
(unidade típica ). - Taxa de calor total atravessando uma área
: (unidade ).
Passo 2
Conceito e fórmula fundamental (a “lei de Fourier” da condução):
A condução de calor em regime permanente, unidimensional, é descrita pela lei de Fourier, que diz que o fluxo de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente de temperatura e à condutividade térmica. Em notação:
onde
-
é o fluxo de calor por unidade de área em um ponto (positivo no sentido positivo de ); -
é a condutividade térmica (constante do material); -
é a derivada espacial da temperatura (gradiente térmico).
Explicação do sinal: o sinal negativo mostra que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura (se
, então
, isto é, fluxo no sentido negativo de
).
Passo 3
Equação de equilíbrio em regime permanente para condução unidimensional com
constante:
Em regime permanente e sem geração interna de calor, a taxa de calor que atravessa qualquer seção transversal é constante com
. Matematicamente, escrevemos (para
constante):
Como
é constante, isso simplifica para
Isto significa que a segunda derivada da temperatura é zero: a solução geral é uma função linear de
.
Passo 4
Integração da equação diferencial para obter a forma geral da temperatura:
Integrando
uma vez:
onde
é constante. Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração. Essas constantes serão determinadas pelas condições de contorno
e
.
Passo 5
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
:
Usando
:
Portanto
.
Usando
:
Isolando
:
Assim a solução para
fica determinada.
Passo 6
Escrever explicitamente o perfil de temperatura (solução algébrica pedida em (b)):
Substituindo
e
em
:
Outra forma equivalente, útil para ver que a temperatura varia linearmente do lado quente para o lado frio, é:
Essa é a resposta algébrica do item (b): o perfil é linear em
.
Passo 7
Determinar o fluxo de calor por unidade de área (solução algébrica pedida em (a)):
Usando a lei de Fourier
e a expressão de
, obtemos
Interpretação do resultado:
- Se
, então e o calor flui na direção do aumento de (do lado para ). - Se
, então (fluxo oposto).
Passo 8
Expressão para a taxa de calor total atravessando a parede de área
:
Se a parede tem área de transferência
perpendicular ao fluxo, a potência térmica atravessando a parede é
Isso é frequentemente a forma usada em problemas práticos (unidade
).
Passo 9
Resumo físico e dicas para a prova (curta motivação e checagem):
- A equação essencial é a lei de Fourier
e, em regime permanente sem geração interna, o gradiente é constante porque a segunda derivada é zero. - Resultado chave: perfil linear de temperatura e fluxo proporcional à diferença de temperatura dividida por
. - Para checar: ao tomar
em e em , verifique que e que muda de sinal quando inverte-se e .
Resposta
(a)
(b)