Considere uma parede plana, com espessura L , construída de um material com condutividade térmica k. Dado um fluxo de calor por condução em regime permanente através da parede. Calcule:
a. fluxo de calor que atravessa a parede; (Solução Algébrica).
b. perfil de temperatura na parede. (Solução Algébrica).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Espessura da parede: L.
    • Condutividade térmica do material: k.
    • Processo: condução térmica em regime permanente (estado estacionário), unidimensional através da espessura da parede.
  • Quantidades que o enunciado pede:
    • (a) o fluxo de calor que atravessa a parede (resolver algebraicamente);
    • (b) o perfil de temperatura na parede (resolver algebraicamente).
Observação necessária para resolver de forma simbólica: o problema não especificou temperaturas nas superfícies. Vou introduzir duas temperaturas de contorno usuais e necessárias para a solução simbólica:
  • Temperatura na face em x=0: T(0)=T_{1}.
  • Temperatura na face em x=L: T(L)=T_{2}.
Também vou distinguir duas grandezas de “fluxo”:
  • Fluxo de calor por unidade de área (fluxo superficial): q'' (unidade típica \mathrm{W/m^{2}}).
  • Taxa de calor total atravessando uma área A: \dot{Q}=q''\,A (unidade \mathrm{W}).

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental (a “lei de Fourier” da condução):
A condução de calor em regime permanente, unidimensional, é descrita pela lei de Fourier, que diz que o fluxo de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente de temperatura e à condutividade térmica. Em notação:
q''(x) = -k\,\frac{dT}{dx},
onde
  • \;q''(x)\; é o fluxo de calor por unidade de área em um ponto x (positivo no sentido positivo de x);
  • \;k\; é a condutividade térmica (constante do material);
  • \;\dfrac{dT}{dx}\; é a derivada espacial da temperatura (gradiente térmico).
Explicação do sinal: o sinal negativo mostra que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura (se dT/dx>0, então q''<0, isto é, fluxo no sentido negativo de x).

Passo 3

Equação de equilíbrio em regime permanente para condução unidimensional com k constante:
Em regime permanente e sem geração interna de calor, a taxa de calor que atravessa qualquer seção transversal é constante com x. Matematicamente, escrevemos (para k constante):
\frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right)=0.
Como k é constante, isso simplifica para
-k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Isto significa que a segunda derivada da temperatura é zero: a solução geral é uma função linear de x.

Passo 4

Integração da equação diferencial para obter a forma geral da temperatura:
Integrando \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}}=0 uma vez:
\frac{dT}{dx}=C_{1},
onde C_{1} é constante. Integrando novamente:
T(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Essas constantes serão determinadas pelas condições de contorno T(0)=T_{1} e T(L)=T_{2}.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}:
Usando T(0)=T_{1}:
T(0)=C_{1}\cdot 0 + C_{2}=C_{2}=T_{1}.
Portanto C_{2}=T_{1}.
Usando T(L)=T_{2}:
T(L)=C_{1}L + C_{2}=C_{1}L + T_{1}=T_{2}.
Isolando C_{1}:
C_{1}=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}.
Assim a solução para T(x) fica determinada.

Passo 6

Escrever explicitamente o perfil de temperatura (solução algébrica pedida em (b)):
Substituindo C_{1} e C_{2} em T(x)=C_{1}x+C_{2}:
T(x)=T_{1}+\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x.
Outra forma equivalente, útil para ver que a temperatura varia linearmente do lado quente para o lado frio, é:
T(x)=T_{1}-\frac{T_{1}-T_{2}}{L}\,x.
Essa é a resposta algébrica do item (b): o perfil é linear em x.

Passo 7

Determinar o fluxo de calor por unidade de área (solução algébrica pedida em (a)):
Usando a lei de Fourier \;q''=-k\,\dfrac{dT}{dx}\; e a expressão de \dfrac{dT}{dx}=C_{1}=\dfrac{T_{2}-T_{1}}{L}, obtemos
q'' = -k\left(\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\right) = k\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}.
Interpretação do resultado:
  • Se T_{1}>T_{2}, então q''>0 e o calor flui na direção do aumento de x (do lado x=0 para x=L).
  • Se T_{2}>T_{1}, então q''<0 (fluxo oposto).

Passo 8

Expressão para a taxa de calor total atravessando a parede de área A:
Se a parede tem área de transferência A perpendicular ao fluxo, a potência térmica atravessando a parede é
\dot{Q}=q''\,A = k\,A\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}.
Isso é frequentemente a forma usada em problemas práticos (unidade \mathrm{W}).

Passo 9

Resumo físico e dicas para a prova (curta motivação e checagem):
  • A equação essencial é a lei de Fourier \;q''=-k\,dT/dx\; e, em regime permanente sem geração interna, o gradiente é constante porque a segunda derivada é zero.
  • Resultado chave: perfil linear de temperatura e fluxo proporcional à diferença de temperatura dividida por L.
  • Para checar: ao tomar x=0 em T_{1} e x=L em T_{2}, verifique que T(L)=T_{2} e que \dot{Q} muda de sinal quando inverte-se T_{1} e T_{2}.

Resposta

(a) \;q''=k\,\dfrac{T_{1}-T_{2}}{L}\;,\quad \dot{Q}=kA\,\dfrac{T_{1}-T_{2}}{L}.
(b) \;T(x)=T_{1}+\dfrac{T_{2}-T_{1}}{L}\,x \;=\; T_{1}-\dfrac{T_{1}-T_{2}}{L}\,x.

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