Água quente, com temperatura
constante, escoa no interior de um duto de aço de raio interno
, raio externo
e comprimento L . O duto está em contato com o ar ambiente, que mantem temperatura
constante. Sendo
condutividade térmica do aço,
coeficiente
de transferência do calor por convecção da água e
coeficiente de transferência de calor por convecção do ar, determine:
a. Taxa de transferência de calor (fluxo de calor) por comprimento unitário do duto que passa da água para o ar ambiente (Solução Algébrica);
b. Distribuição de temperatura na parede do duto (Solução Algébrica).
de transferência do calor por convecção da água e
a. Taxa de transferência de calor (fluxo de calor) por comprimento unitário do duto que passa da água para o ar ambiente (Solução Algébrica);
b. Distribuição de temperatura na parede do duto (Solução Algébrica).
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Temperatura da água (núcleo):
(constante). - Temperatura do ar ambiente:
(constante). - Raio interno do duto:
. - Raio externo do duto:
. - Condutividade térmica do aço:
. - Coeficiente de convecção na face interna (água):
. - Coeficiente de convecção na face externa (ar):
. - Comprimento do duto:
, mas o enunciado pede a taxa por comprimento unitário (logo usaremos a notação por unidade de comprimento).
O enunciado pede:
(a) Taxa de transferência de calor por comprimento unitário do duto que passa da água para o ar ambiente (ou seja, em
).
(b) Distribuição de temperatura na parede do duto, isto é para
(solução algébrica).
(a) Taxa de transferência de calor por comprimento unitário do duto que passa da água para o ar ambiente (ou seja,
(b) Distribuição de temperatura na parede do duto, isto é
Passo 2
Entendendo o fluxo e as resistências térmicas (ideia física importante, breve explicação): o calor sai da água, atravessa a camada de convecção interna, passa por condução radial através da parede cilíndrica do aço e finalmente atravessa a convecção externa para o ar. Em regime estacionário e sem geração interna, estas três etapas comportam-se como resistências térmicas em série. A taxa de calor por unidade de comprimento
será análoga a uma diferença de temperatura dividida pela soma das resistências por unidade de comprimento.
Agora escrevemos cada resistência por unidade de comprimento (resistência térmica usualmente dá temperatura por fluxo; como queremos por comprimento unitário usamos notação com apóstrofo):
Resistência por convecção no interior (interface água–parede), por unidade de comprimento:
Explicação: a resistência convectiva para uma superfície de área por unidade de comprimento
é
.
Resistência por condução radial através da parede cilíndrica (por unidade de comprimento):
Explicação: para condução radial em casca cilíndrica sem geração, a resistência entre dois raios
e
é
.
Resistência por convecção no exterior (interface parede–ar), por unidade de comprimento:
Passo 3
Somando as resistências em série, a resistência térmica total por unidade de comprimento é
A diferença de temperatura entre a água e o ar é
. Logo, a taxa de calor por unidade de comprimento (fluxo axial total de calor por metro) é dada por lei de Ohm térmica:
Substituindo
obtemos a expressão algébrica explícita:
Comentário prático (útil na prova): se quiser o calor total para um comprimento
, multiplica-se
por
:
.
Passo 4
Determinar as temperaturas nas superfícies internas e externas da parede (passo intermediário para a distribuição):
- A temperatura da superfície interna da parede
está relacionada a por queda de temperatura convectiva:
- A temperatura da superfície externa da parede
está relacionada a por:
Essas expressões mostram como o calor atravessa cada resistência: queda convectiva interna, queda por condução na parede e queda convectiva externa.
Passo 5
Obter a distribuição de temperatura
na parede para
.
Equação de equilíbrio (regime estacionário, sem geração) em coordenadas cilíndricas para temperatura radial só depende de
:
Integrando uma vez:
Integrando novamente:
Outra forma (mais prática para conectar com o fluxo
) é usar a relação entre gradiente e fluxo radial por unidade de comprimento:
Isolando
e integrando de
até
:
Esta fórmula é intuitiva: a partir da temperatura na superfície interna
decresce com
até
.
Passo 6
Expressão final da distribuição de temperatura totalmente em termos de
e
(substituindo
e
).
Usando
na expressão de
:
Finalmente, substituir
obtido no Passo 3 (para expressar somente em termos de
,
e parâmetros geométrico/termodinâmicos). Para condensar, é conveniente escrever um denominador comum:
Então
Substituindo em
e fazendo a álgebra (dividindo numerator e denominador adequadamente) obtemos a forma final:
Esta expressão dá
explicitamente em função apenas dos dados do problema.
Resposta
(a)
(b)