Água quente, com temperatura \mathrm{T}_{\mathrm{A}} constante, escoa no interior de um duto de aço de raio interno \mathrm{R}_{\mathrm{i}}, raio externo \mathrm{R}_{\mathrm{e}} e comprimento L . O duto está em contato com o ar ambiente, que mantem temperatura \mathrm{T}_{\text {ar }} constante. Sendo \mathrm{k}_{\text {aço }} \mathrm{a}ç condutividade térmica do aço, \mathrm{h}_{\mathrm{a}} \mathrm{o} coeficiente
de transferência do calor por convecção da água e \mathrm{h}_{\mathrm{ar}} \mathrm{o} coeficiente de transferência de calor por convecção do ar, determine:
a. Taxa de transferência de calor (fluxo de calor) por comprimento unitário do duto que passa da água para o ar ambiente (Solução Algébrica);
b. Distribuição de temperatura na parede do duto (Solução Algébrica).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Temperatura da água (núcleo): T_{A} (constante).
  • Temperatura do ar ambiente: T_{\text{ar}} (constante).
  • Raio interno do duto: R_{i}.
  • Raio externo do duto: R_{e}.
  • Condutividade térmica do aço: k_{\text{aço}}ç.
  • Coeficiente de convecção na face interna (água): h_{a}.
  • Coeficiente de convecção na face externa (ar): h_{\text{ar}}.
  • Comprimento do duto: L, mas o enunciado pede a taxa por comprimento unitário (logo usaremos a notação por unidade de comprimento).
O enunciado pede:
(a) Taxa de transferência de calor por comprimento unitário do duto que passa da água para o ar ambiente (ou seja, q' em \mathrm{W/m}).
(b) Distribuição de temperatura na parede do duto, isto é T(r) para R_{i}\le r\le R_{e} (solução algébrica).

Passo 2

Entendendo o fluxo e as resistências térmicas (ideia física importante, breve explicação): o calor sai da água, atravessa a camada de convecção interna, passa por condução radial através da parede cilíndrica do aço e finalmente atravessa a convecção externa para o ar. Em regime estacionário e sem geração interna, estas três etapas comportam-se como resistências térmicas em série. A taxa de calor por unidade de comprimento q' será análoga a uma diferença de temperatura dividida pela soma das resistências por unidade de comprimento.
Agora escrevemos cada resistência por unidade de comprimento (resistência térmica usualmente dá temperatura por fluxo; como queremos por comprimento unitário usamos notação com apóstrofo):
Resistência por convecção no interior (interface água–parede), por unidade de comprimento:
R'_{\text{conv,i}}=\frac{1}{h_{a}\,2\pi R_{i}}.
Explicação: a resistência convectiva para uma superfície de área por unidade de comprimento A'=2\pi R_i é 1/(hA').
Resistência por condução radial através da parede cilíndrica (por unidade de comprimento):
R'_{\text{cond}}=\frac{1}{2\pi k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\frac{R_{e}}{R_{i}}\right).ç
Explicação: para condução radial em casca cilíndrica sem geração, a resistência entre dois raios r_1 e r_2 é \dfrac{1}{2\pi k}\ln(r_2/r_1).
Resistência por convecção no exterior (interface parede–ar), por unidade de comprimento:
R'_{\text{conv,o}}=\frac{1}{h_{\text{ar}}\,2\pi R_{e}}.

Passo 3

Somando as resistências em série, a resistência térmica total por unidade de comprimento é
R'_{\text{total}}=R'_{\text{conv,i}}+R'_{\text{cond}}+R'_{\text{conv,o}} =\frac{1}{2\pi}\left(\frac{1}{h_{a}R_{i}}+\frac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\frac{R_{e}}{R_{i}}\right)+\frac{1}{h_{\text{ar}}R_{e}}\right).ç
A diferença de temperatura entre a água e o ar é \Delta T = T_{A}-T_{\text{ar}}. Logo, a taxa de calor por unidade de comprimento (fluxo axial total de calor por metro) é dada por lei de Ohm térmica:
q'=\frac{T_{A}-T_{\text{ar}}}{R'_{\text{total}}}.
Substituindo R'_{\text{total}} obtemos a expressão algébrica explícita:
q'=\frac{T_{A}-T_{\text{ar}}}{\dfrac{1}{2\pi}\!\left(\dfrac{1}{h_{a}R_{i}}+\dfrac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\dfrac{R_{e}}{R_{i}}+\dfrac{1}{h_{\text{ar}}R_{e}}\right)} =2\pi\,(T_{A}-T_{\text{ar}})\bigg/\!\left(\dfrac{1}{h_{a}R_{i}}+\dfrac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\dfrac{R_{e}}{R_{i}}+\dfrac{1}{h_{\text{ar}}R_{e}}\right).çç
Comentário prático (útil na prova): se quiser o calor total para um comprimento L, multiplica-se q' por L: Q=q'\,L.

Passo 4

Determinar as temperaturas nas superfícies internas e externas da parede (passo intermediário para a distribuição):
  • A temperatura da superfície interna da parede T(R_{i}) está relacionada a T_{A} por queda de temperatura convectiva:
q' = h_{a}\,2\pi R_{i}\,\bigl(T_{A}-T(R_{i})\bigr) \quad\Rightarrow\quad T(R_{i})=T_{A}-\frac{q'}{h_{a}\,2\pi R_{i}}.
  • A temperatura da superfície externa da parede T(R_{e}) está relacionada a T_{\text{ar}} por:
q' = h_{\text{ar}}\,2\pi R_{e}\,\bigl(T(R_{e})-T_{\text{ar}}\bigr) \quad\Rightarrow\quad T(R_{e})=T_{\text{ar}}+\frac{q'}{h_{\text{ar}}\,2\pi R_{e}}.
Essas expressões mostram como o calor atravessa cada resistência: queda convectiva interna, queda por condução na parede e queda convectiva externa.

Passo 5

Obter a distribuição de temperatura T(r) na parede para R_{i}\le r\le R_{e}.
Equação de equilíbrio (regime estacionário, sem geração) em coordenadas cilíndricas para temperatura radial só depende de r:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Integrando uma vez:
r\frac{dT}{dr}=C_1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}.
Integrando novamente:
T(r)=C_1\ln r + C_2.
Outra forma (mais prática para conectar com o fluxo q') é usar a relação entre gradiente e fluxo radial por unidade de comprimento:
q'=-2\pi r k_{\text{aço}}\frac{dT}{dr}.ç
Isolando \dfrac{dT}{dr} e integrando de R_{i} até r:
\frac{dT}{dr}=-\frac{q'}{2\pi k_{\text{aço}}}\frac{1}{r} \quad\Rightarrow\quad T(r)=T(R_{i})-\frac{q'}{2\pi k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\frac{r}{R_{i}}\right).çç
Esta fórmula é intuitiva: a partir da temperatura na superfície interna T(R_{i}) decresce com \ln r até r.

Passo 6

Expressão final da distribuição de temperatura totalmente em termos de T_{A} e T_{\text{ar}} (substituindo T(R_{i}) e q').
Usando T(R_{i})=T_{A}-\dfrac{q'}{h_{a}\,2\pi R_{i}} na expressão de T(r):
T(r)=T_{A}-\frac{q'}{h_{a}\,2\pi R_{i}}-\frac{q'}{2\pi k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\frac{r}{R_{i}}\right).ç
Finalmente, substituir q' obtido no Passo 3 (para expressar somente em termos de T_{A}, T_{\text{ar}} e parâmetros geométrico/termodinâmicos). Para condensar, é conveniente escrever um denominador comum:
D\equiv \frac{1}{h_{a}R_{i}}+\frac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\frac{R_{e}}{R_{i}}\right)+\frac{1}{h_{\text{ar}}R_{e}}.ç
Então
q'=2\pi\,(T_{A}-T_{\text{ar}})/D.
Substituindo em T(r) e fazendo a álgebra (dividindo numerator e denominador adequadamente) obtemos a forma final:
T(r)=T_{A}-(T_{A}-T_{\text{ar}})\, \frac{\dfrac{1}{h_{a}R_{i}}+\dfrac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_{i}}\right)} {\dfrac{1}{h_{a}R_{i}}+\dfrac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\dfrac{R_{e}}{R_{i}}\right)+\dfrac{1}{h_{\text{ar}}R_{e}}}.çç
Esta expressão dá T(r) explicitamente em função apenas dos dados do problema.

Resposta

(a) q'=2\pi\,(T_{A}-T_{\text{ar}})\bigg/\!\left(\dfrac{1}{h_{a}R_{i}}+\dfrac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\dfrac{R_{e}}{R_{i}}+\dfrac{1}{h_{\text{ar}}R_{e}}\right).ç
(b) T(r)=T_{A}-(T_{A}-T_{\text{ar}})\, \frac{\dfrac{1}{h_{a}R_{i}}+\dfrac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\dfrac{r}{R_{i}}\right)} {\dfrac{1}{h_{a}R_{i}}+\dfrac{1}{k_{\text{aço}}}\ln\!\left(\dfrac{R_{e}}{R_{i}}\right)+\dfrac{1}{h_{\text{ar}}R_{e}}},\quad R_{i}\le r\le R_{e}.çç

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