Considere uma placa de mármore de espessura
e condutividade térmica
.
. A superfícies esquerda da placa é mantida a temperatura
, enquanto a superfície da direita permanece com temperatura
. Determine, por meio da integração da equação de Fourier para a condução:
a. A densidade de fluxo de calor que atravessa a placa.
.
b. A distribuição de temperatura (perfil)
na placa.
a. A densidade de fluxo de calor que atravessa a placa.
b. A distribuição de temperatura (perfil)
Passo 1
O enunciado dá uma placa de mármore com espessura e temperaturas nas superfícies e pede: (a) a densidade de fluxo de calor que atravessa a placa; (b) o perfil de temperatura
dentro da placa. Valores dados:
- Espessura:
. - Condutividade térmica:
. - Temperatura na face esquerda:
. - Temperatura na face direita:
.
Observação prática imediata: converter a espessura para metros antes de calcular:
Passo 2
Escrevendo a lei de Fourier para condução unidimensional e estado estacionário:
Explicação desta fórmula (passo-a-passo):
-
é a densidade de fluxo de calor na direção (unidade ). Signo: positivo indica fluxo no sentido + . -
é a condutividade térmica ( ). -
é o gradiente de temperatura (variação de temperatura por unidade de comprimento).
A fórmula diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura, com sinal negativo porque o calor vai do quente para o frio.
Passo 3
Condição de problema: estado estacionário e sem geração interna de calor dentro da placa. Isso implica que
é constante (não depende de
). Então podemos tratar
como uma constante desconhecida a determinar pelos contornos.
Passo 4
Reescrevendo e integrando a expressão para obter
. Como
é constante:
Integramos em
:
o que dá (constante de integração
):
Passo 5
Aplicar as condições de contorno para determinar
e
.
Usando :
Usando
Logo
Agora impor
:
Isolando
:
Interpretação: o fluxo é proporcional à diferença de temperatura entre as faces dividida pela espessura.
Passo 6
Substituir os valores numéricos (lembrando
e
):
Calcule passo a passo:
Portanto a densidade de fluxo de calor que atravessa a placa é
.
Passo 7
Determinar a distribuição de temperatura usando o valor de
. Temos
Calcular
:
Logo o perfil é
onde
está em metros e
em
. Verificação rápida: em
temos
, consistente com a condição de contorno direita.
Comentário físico rápido: como a temperatura decresce com
, o calor flui da face esquerda (mais quente) para a face direita (mais fria); o sinal positivo de
indica fluxo no sentido +
, conforme esperado.