Considere uma placa de mármore de espessura \mathrm{L}=2 \mathrm{~cm} e condutividade térmica \mathrm{kM}=2,5 \mathrm{W} / \mathrm{m}. { }^{\circ} \mathrm{C}. A superfícies esquerda da placa é mantida a temperatura \mathrm{T}(0)=30^{\circ} \mathrm{C}, enquanto a superfície da direita permanece com temperatura \mathrm{T}(\mathrm{L})=20^{\circ} \mathrm{C}. Determine, por meio da integração da equação de Fourier para a condução:
a. A densidade de fluxo de calor que atravessa a placa. \boldsymbol{R}: \boldsymbol{q}_{x}=\mathbf{1 2 5 0} \mathbf{W} / \boldsymbol{m}^{2}.
b. A distribuição de temperatura (perfil) \mathrm{T}(\mathrm{x}) na placa. \boldsymbol{R}: \boldsymbol{T}(\boldsymbol{x})=\mathbf{3 0 - 5 0 0 x}

Passo 1

O enunciado dá uma placa de mármore com espessura e temperaturas nas superfícies e pede: (a) a densidade de fluxo de calor que atravessa a placa; (b) o perfil de temperatura T(x) dentro da placa. Valores dados:
  • Espessura: L=2\\ \text{cm}.
  • Condutividade térmica: k_M=2{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\! \cdot {^\circ\mathrm{C}}.
  • Temperatura na face esquerda: T(0)=30{^\circ\mathrm{C}}.
  • Temperatura na face direita: T(L)=20{^\circ\mathrm{C}}.
Observação prática imediata: converter a espessura para metros antes de calcular:
L=2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \text{m}.

Passo 2

Escrevendo a lei de Fourier para condução unidimensional e estado estacionário:
q_x = -k\,\frac{dT}{dx}.
Explicação desta fórmula (passo-a-passo):
  • q_x é a densidade de fluxo de calor na direção x (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2). Signo: positivo indica fluxo no sentido + x.
  • k é a condutividade térmica ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}).
  • \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura (variação de temperatura por unidade de comprimento).
    A fórmula diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura, com sinal negativo porque o calor vai do quente para o frio.

Passo 3

Condição de problema: estado estacionário e sem geração interna de calor dentro da placa. Isso implica que q_x é constante (não depende de x). Então podemos tratar q_x como uma constante desconhecida a determinar pelos contornos.

Passo 4

Reescrevendo e integrando a expressão para obter T(x). Como q_x é constante:
\frac{dT}{dx} = -\frac{q_x}{k}.
Integramos em x:
\int dT = -\frac{q_x}{k}\int dx
o que dá (constante de integração C):
T(x) = -\frac{q_x}{k}\,x + C.

Passo 5

Aplicar as condições de contorno para determinar C e q_x.
Usando T(0)=30{^\circ\mathrm{C}}:
T(0)= -\frac{q_x}{k}\cdot 0 + C = C \quad\Rightarrow\quad C=30.
Logo
T(x)=30 -\frac{q_x}{k}\,x.
Agora impor T(L)=20{^\circ\mathrm{C}}:
T(L)=30 -\frac{q_x}{k}\,L = 20.
Isolando q_x:
30- \frac{q_x}{k}\,L = 20 \quad\Rightarrow\quad -\frac{q_x}{k}\,L = -10
\Rightarrow\quad \frac{q_x}{k} = \frac{10}{L} \quad\Rightarrow\quad q_x = k\,\frac{10}{L}.
Interpretação: o fluxo é proporcional à diferença de temperatura entre as faces dividida pela espessura.

Passo 6

Substituir os valores numéricos (lembrando L=0{,}02\\ \text{m} e k=2{,}5\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{^\circ\mathrm{C}}):
q_x = 2{,}5\cdot\frac{10}{0{,}02}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Calcule passo a passo:
\frac{10}{0{,}02} = 500,
q_x = 2{,}5\cdot 500 = 1250\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
Portanto a densidade de fluxo de calor que atravessa a placa é 1250\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.

Passo 7

Determinar a distribuição de temperatura usando o valor de q_x. Temos
T(x)=30 -\frac{q_x}{k}\,x.
Calcular \dfrac{q_x}{k}:
\frac{q_x}{k}=\frac{1250}{2{,}5}=500\\ \frac{{^\circ\mathrm{C}}}{\mathrm{m}}.
Logo o perfil é
T(x)=30 - 500\,x,
onde x está em metros e T em {^\circ\mathrm{C}}. Verificação rápida: em x=0{,}02\\ \text{m} temos T=30-500\cdot 0{,}02=30-10=20{^\circ\mathrm{C}}, consistente com a condição de contorno direita.
Comentário físico rápido: como a temperatura decresce com x, o calor flui da face esquerda (mais quente) para a face direita (mais fria); o sinal positivo de q_x indica fluxo no sentido + x, conforme esperado.

Resposta

q_x = 1250\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\n
T(x)=30 - 500\,x (com x em metros e T em {^\circ\mathrm{C}})

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