QUESTÃO. Uma camada de argila duplamente drenada com 16 m de espessura possui um coeficiente de adensamento de
. Qual a porcentagem de adensamento após 10 anos do carregamento, nas profundidades 8,0 e
?
Passo 1
O enunciado pede: “Qual a porcentagem de adensamento após 10 anos do carregamento, nas profundidades
e
?”
Dados fornecidos (vou listá-los todos claramente):
- Espessura total da camada:
. - A camada é duplamente drenada (isto é, drena tanto pelo topo quanto pelo fundo).
- Coeficiente de adensamento:
(assumi unidade usual ; daí a notação científica). - Tempo desde o carregamento:
anos. - Profundidades onde se pede o adensamento:
e (medidas a partir do topo).
Passo 2
Entendendo como transformar os dados em grandezas úteis (sem resolver ainda): para uma camada duplamente drenada de espessura total
normalmente usamos
como o caminho de drenagem (meia-espessura). Aqui:
Precisamos do fator de tempo adimensional
que mede o progresso do adensamento:
Antes disso convertemos
para segundos (uso
):
Agora calculamos
:
E portanto
Comentário didático curto:
é a razão entre o produto
(que tem dimensão de área) e o quadrado do caminho de drenagem; quanto maior
, mais avançado o adensamento.
Passo 3
Qual fórmula usar para encontrar o adensamento em uma profundidade específica?
Para uma camada inicialmente com excesso de pressão uniforme e com drenagem nas duas faces (camada de espessura
), a solução da equação de adensamento de Terzaghi dá a pressão de poro normalizada em função da posição medida a partir do plano central
(onde
é o centro, e
são as superfícies drenantes):
onde:
-
é a pressão de poro em no tempo , -
é a pressão de poro inicial (no instante imediatamente após a carga), -
é a meia-espessura (aqui ), -
e já definidos.
A porcentagem de adensamento (grau de adensamento local) em
no tempo
é
Observação prática: essa série converge muito rápido; na prática bastam os primeiros termos (muitas vezes o primeiro) para boa aproximação quando o expoente já é moderado/alto.
Passo 4
Aplicando a fórmula para a profundidade
.
Primeiro, relacionar coordenada:
a partir do topo é exatamente o plano central da camada, isto é
na nossa coordenada centralizada (pois
).
Para
temos
para todo
. Assim
onde já usamos
.
Substituímos
. Vamos calcular os primeiros termos da série (suficientes aqui):
-
Para
(primeiro termo): o expoente élogo.
Contribuição do termo: -
Para
(segundo termo): a parte exponencial usa, então o expoente é e .
Contribuição do termo: Termos superiores são ainda menores (de ordemou menos) e podem ser desprezados para 3 casas significativas.
Somando as contribuições (praticamente só o primeiro termo relevante):
Portanto o grau de adensamento no centro é
Comentário intuitivo: o centro demora mais para descarregar as porosidades; por isso o adensamento aí é menor que a média em camadas que drenam pelas faces.
Passo 5
Aplicando a fórmula para a profundidade
.
A profundidade
a partir do topo é a face inferior (fundo) da camada: é uma superfície drenante. Na coordenada centralizada isso corresponde a
. Para
a função cosseno vale
para todo
, portanto
Interpretação física rápida: numa superfície drenante a pressão de poro excedente é sempre zero (ou muito rapidamente nula), logo localmente o solo já está adensado (100%) naquele ponto.