\mathbf{3}^{\text {a }} QUESTÃO. Uma camada de argila duplamente drenada com 16 m de espessura possui um coeficiente de adensamento de 8,0 \times 10-8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual a porcentagem de adensamento após 10 anos do carregamento, nas profundidades 8,0 e 16,0 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Qual a porcentagem de adensamento após 10 anos do carregamento, nas profundidades 8{,}0 e 16{,}0\\ \mathrm{m}?”
Dados fornecidos (vou listá-los todos claramente):
  • Espessura total da camada: 16{,}0\\ \mathrm{m}.
  • A camada é duplamente drenada (isto é, drena tanto pelo topo quanto pelo fundo).
  • Coeficiente de adensamento: c_v = 8{,}0 \times 10^{-8}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (assumi unidade usual \mathrm{m}^2/\mathrm{s}; daí a notação científica).
  • Tempo desde o carregamento: t = 10 anos.
  • Profundidades onde se pede o adensamento: 8{,}0\\ \mathrm{m} e 16{,}0\\ \mathrm{m} (medidas a partir do topo).

Passo 2

Entendendo como transformar os dados em grandezas úteis (sem resolver ainda): para uma camada duplamente drenada de espessura total 2H normalmente usamos H como o caminho de drenagem (meia-espessura). Aqui:
2H = 16{,}0\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad H = 8{,}0\\ \mathrm{m}.
Precisamos do fator de tempo adimensional \;T_v\; que mede o progresso do adensamento:
T_v=\frac{c_v\,t}{H^{2}}.
Antes disso convertemos t para segundos (uso 1\\ \text{ano}=365\times24\times3600\\ \mathrm{s}):
t = 10\\ \text{anos} = 10\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 315\,360\,000\\ \mathrm{s}.
Agora calculamos c_v t:
c_v t = 8{,}0\times 10^{-8}\times 315\,360\,000 = 25{,}2288\\ \mathrm{m}^2.
E portanto
T_v = \frac{25{,}2288}{H^{2}}=\frac{25{,}2288}{8^{2}}=\frac{25{,}2288}{64}=0{,}3942\\ (\text{aprox.}).
Comentário didático curto: \;T_v\; é a razão entre o produto c_v t (que tem dimensão de área) e o quadrado do caminho de drenagem; quanto maior T_v, mais avançado o adensamento.

Passo 3

Qual fórmula usar para encontrar o adensamento em uma profundidade específica?
Para uma camada inicialmente com excesso de pressão uniforme e com drenagem nas duas faces (camada de espessura 2H), a solução da equação de adensamento de Terzaghi dá a pressão de poro normalizada em função da posição medida a partir do plano central z (onde z=0 é o centro, e z=\pm H são as superfícies drenantes):
\frac{u(z,t)}{u_0}=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1}\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi z}{2H}\right) \exp\!\left(-\frac{(2n+1)^{2}\pi^{2}c_v t}{4H^{2}}\right),
onde:
  • u(z,t) é a pressão de poro em z no tempo t,
  • u_0 é a pressão de poro inicial (no instante imediatamente após a carga),
  • H é a meia-espessura (aqui 8{,}0\\ \mathrm{m}),
  • c_v e t já definidos.
A porcentagem de adensamento (grau de adensamento local) em z no tempo t é
U(z,t)=\bigl[1-\dfrac{u(z,t)}{u_0}\bigr]\times 100\%.
Observação prática: essa série converge muito rápido; na prática bastam os primeiros termos (muitas vezes o primeiro) para boa aproximação quando o expoente já é moderado/alto.

Passo 4

Aplicando a fórmula para a profundidade 8{,}0\\ \mathrm{m}.
Primeiro, relacionar coordenada: 8{,}0\\ \mathrm{m} a partir do topo é exatamente o plano central da camada, isto é z=0 na nossa coordenada centralizada (pois H=8{,}0\\ \mathrm{m}).
Para z=0 temos \cos\!\bigl(\frac{(2n+1)\pi\cdot 0}{2H}\bigr)=\cos(0)=1 para todo n. Assim
\frac{u(0,t)}{u_0}=\frac{4}{\pi}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2n+1} \exp\!\left(-\frac{(2n+1)^{2}\pi^{2}}{4}T_v\right),
onde já usamos T_v=\dfrac{c_v t}{H^2}.
Substituímos T_v=0{,}3942. Vamos calcular os primeiros termos da série (suficientes aqui):
  • Para n=0 (primeiro termo):
    \text{coef}=\frac{4}{\pi}\cdot\frac{1}{1}= \frac{4}{\pi}\approx 1{,}27324,
    o expoente é
    \frac{(2\cdot 0+1)^{2}\pi^{2}}{4}T_v=\frac{\pi^{2}}{4}\cdot 0{,}3942 \approx 2{,}4674\cdot 0{,}3942 \approx 0{,}9725,
    logo \exp(-0{,}9725)\approx 0{,}3785.
    Contribuição do termo n=0:
    1{,}27324\times 0{,}3785 \approx 0{,}4819.
  • Para n=1 (segundo termo):
    \frac{4}{\pi}\cdot\frac{1}{3}\approx 0{,}42441,
    a parte exponencial usa (2n+1)^{2}=9, então o expoente é 9\times 0{,}9725\approx 8{,}7525 e \exp(-8{,}7525)\approx 0{,}000158.
    Contribuição do termo n=1:
    0{,}42441\times 0{,}000158 \approx 0{,}000067.
    Termos superiores são ainda menores (de ordem 10^{-5} ou menos) e podem ser desprezados para 3 casas significativas.
Somando as contribuições (praticamente só o primeiro termo relevante):
\frac{u(0,t)}{u_0}\approx 0{,}4819 + 0{,}00007 \approx 0{,}48197 \approx 0{,}4820.
Portanto o grau de adensamento no centro é
U(8{,}0\\ \mathrm{m},10\\ \text{anos}) = \bigl(1-0{,}4820\bigr)\times 100\%\approx 51{,}80\%.
Comentário intuitivo: o centro demora mais para descarregar as porosidades; por isso o adensamento aí é menor que a média em camadas que drenam pelas faces.

Passo 5

Aplicando a fórmula para a profundidade 16{,}0\\ \mathrm{m}.
A profundidade 16{,}0\\ \mathrm{m} a partir do topo é a face inferior (fundo) da camada: é uma superfície drenante. Na coordenada centralizada isso corresponde a z=H. Para z=H a função cosseno vale
\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi H}{2H}\right)=\cos\!\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)=0
para todo n, portanto
\frac{u(H,t)}{u_0}=0 \quad\Rightarrow\quad U(H,t)=100\%.
Interpretação física rápida: numa superfície drenante a pressão de poro excedente é sempre zero (ou muito rapidamente nula), logo localmente o solo já está adensado (100%) naquele ponto.

Resposta

8{,}0\\ \mathrm{m}:\\\ 51{,}8\%
16{,}0\\ \mathrm{m}:\\\ 100\%

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