Considere uma partícula de um aerossol de 1 \mu \mathrm{~m} de diâmetro suspensa em um gás. Considerando que:
\lambda=\frac{1}{n \pi d^{2} \sqrt{2}}
onde n é o número de moléculas por unidade de volume, d é o diâmetro da colisão molecular, calcule o caminho livre molecular e o número de Knudsen para 2.5 \times 10^{25} / m^{3} e 4 \times 10^{10} m.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o caminho livre molecular \lambda usando a fórmula fornecida.
  • Calcular o número de Knudsen \mathrm{Kn} para a partícula do aerossol de diâmetro 1\\ \mu\mathrm{m}.
Informações dadas (e uma observação importante):
  • Número de moléculas por unidade de volume: n = 2,5\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}}.
  • Um valor fornecido 4\times10^{10}\\ \mathrm{m} — aqui interpreto que o enunciado quis dizer o diâmetro molecular típico, que fisicamente faz sentido ser 4\times10^{-10}\\ \mathrm{m} (isto é 0{,}4\\ \mathrm{nm}). Vou seguir essa interpretação porque 4\times10^{10}\\ \mathrm{m} seria fisicamente absurdo para o diâmetro molecular. Se você realmente quis dizer outro valor, me avise depois, mas não vou pedir confirmação agora.
  • Diâmetro da partícula (característica do problema): L = 1\\ \mu\mathrm{m}.
Resumo das grandezas que usaremos:
n = 2,5\times10^{25}\\ \mathrm{m^{-3}},\quad d = 4\times10^{-10}\\ \mathrm{m},\quad L = 1\\ \mu\mathrm{m} = 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo a fórmula do caminho livre molecular:
\lambda=\frac{1}{n\,\pi\,d^{2}\,\sqrt{2}}.
O que cada símbolo significa (explicação didática):
  • \lambda é o caminho livre médio: distância média percorrida por uma molécula entre colisões.
  • n é a concentração de moléculas (número por volume), unidades \mathrm{m^{-3}}.
  • d é o diâmetro efetivo da colisão entre moléculas, unidades \mathrm{m}. Note que o termo \pi d^{2} representa uma área de seção eficaz de colisão (área de “alvo” que cada molécula apresenta a outras).
  • O fator \sqrt{2} surge da consideração geométrica/estatística do movimento relativo entre pares de moléculas (conta que as velocidades relativas aumentam a taxa de colisões).
    Unidades: o denominador tem dimensão \mathrm{m^{-1}}, então \lambda fica em metros.

Passo 3

Fazer as conversões numéricas iniciais:
  • Converter o diâmetro da partícula: L = 1\\ \mu\mathrm{m} = 1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Tomar o diâmetro molecular (assumido): d = 4\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular \lambda passo a passo, mostrando contas:
  1. Calcular d^{2}:
d^{2} = \left(4\times10^{-10}\right)^{2} = 16\times10^{-20} = 1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Calcular \pi d^{2}:
\pi d^{2} \approx 3{,}1416 \times 1{,}6\times10^{-19} \approx 5{,}0265\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Multiplicar por \sqrt{2} (com \sqrt{2}\approx1{,}4142):
\pi d^{2}\sqrt{2} \approx 5{,}0265\times10^{-19}\times1{,}4142 \approx 7{,}106\times10^{-19}\\ \mathrm{m^{2}}.
  1. Multiplicar por n:
n\,\pi d^{2}\sqrt{2} \approx 2{,}5\times10^{25}\times7{,}106\times10^{-19} = (2{,}5\times7{,}106)\times10^{25-19} =17{,}765\times10^{6} =1{,}7765\times10^{7}\\ \mathrm{m^{-1}}.
  1. Finalmente, inverter para obter \lambda:
\lambda = \frac{1}{1{,}7765\times10^{7}}\\ \mathrm{m} \approx 5{,}629\times10^{-8}\\ \mathrm{m}.
Interpretação prática: \lambda\approx5{,}63\times10^{-8}\\ \mathrm{m}, isto é cerca de 56\\ \mathrm{nm}.

Passo 5

Calcular o número de Knudsen \mathrm{Kn}:
Definição: \mathrm{Kn}=\dfrac{\lambda}{L}, onde L é a dimensão característica do problema (aqui o diâmetro da partícula).
Usando \lambda\approx5{,}629\times10^{-8}\\ \mathrm{m} e L=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Kn} = \frac{5{,}629\times10^{-8}}{1\times10^{-6}} = 5{,}629\times10^{-2}.
Ou seja \mathrm{Kn}\approx0{,}0563.

Passo 6

Interpretação do valor de \mathrm{Kn} (dica para a prova):
  • Classificações típicas:
    • \mathrm{Kn} \lesssim 0{,}01: fluxo contínuo (regime de Navier–Stokes sem slip).
    • 0{,}01 \lesssim \mathrm{Kn} \lesssim 0{,}1: regime slip (efeitos de deslizamento na superfície importantes).
    • 0{,}1 \lesssim \mathrm{Kn} \lesssim 10: regime de transição.
    • \mathrm{Kn} \gtrsim 10: fluxo livre molecular.
  • Nosso resultado \mathrm{Kn}\approx0{,}056 está no intervalo de slip flow: isto significa que o continuum ainda é aproximadamente válido, mas é preciso considerar condições de contorno com slip (por exemplo correções de velocidade na superfície).

Resposta

\lambda = 5{,}63\times10^{-8}\\ \mathrm{m}\n \mathrm{Kn} = 5{,}63\times10^{-2}

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