Considere uma partícula de um aerossol de
de diâmetro suspensa em um gás. Considerando que:
onde
é o número de moléculas por unidade de volume,
é o diâmetro da colisão molecular, calcule o caminho livre molecular e o número de Knudsen para
e
.
Passo 1
O que o problema pede:
- Calcular o caminho livre molecular
usando a fórmula fornecida. - Calcular o número de Knudsen
para a partícula do aerossol de diâmetro .
Informações dadas (e uma observação importante):
- Número de moléculas por unidade de volume:
. - Um valor fornecido
— aqui interpreto que o enunciado quis dizer o diâmetro molecular típico, que fisicamente faz sentido ser (isto é ). Vou seguir essa interpretação porque seria fisicamente absurdo para o diâmetro molecular. Se você realmente quis dizer outro valor, me avise depois, mas não vou pedir confirmação agora. - Diâmetro da partícula (característica do problema):
.
Resumo das grandezas que usaremos:
Passo 2
Entendendo a fórmula do caminho livre molecular:
O que cada símbolo significa (explicação didática):
-
é o caminho livre médio: distância média percorrida por uma molécula entre colisões. -
é a concentração de moléculas (número por volume), unidades . -
é o diâmetro efetivo da colisão entre moléculas, unidades . Note que o termo representa uma área de seção eficaz de colisão (área de “alvo” que cada molécula apresenta a outras). - O fator
surge da consideração geométrica/estatística do movimento relativo entre pares de moléculas (conta que as velocidades relativas aumentam a taxa de colisões).
Unidades: o denominador tem dimensão, então fica em metros.
Passo 3
Fazer as conversões numéricas iniciais:
- Converter o diâmetro da partícula:
. - Tomar o diâmetro molecular (assumido):
.
Passo 4
Calcular
passo a passo, mostrando contas:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Multiplicar por
(com ):
- Multiplicar por
:
- Finalmente, inverter para obter
:
Interpretação prática:
, isto é cerca de
.
Passo 5
Calcular o número de Knudsen
:
Definição: , onde
é a dimensão característica do problema (aqui o diâmetro da partícula).
Usando e
:
Definição:
Usando
Ou seja
.
Passo 6
Interpretação do valor de
(dica para a prova):
- Classificações típicas:
-
: fluxo contínuo (regime de Navier–Stokes sem slip). -
: regime slip (efeitos de deslizamento na superfície importantes). -
: regime de transição. -
: fluxo livre molecular.
-
- Nosso resultado
está no intervalo de slip flow: isto significa que o continuum ainda é aproximadamente válido, mas é preciso considerar condições de contorno com slip (por exemplo correções de velocidade na superfície).