Para resolver as Questões
, considere as seguintes condições iniciais:
Questão 3. Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação
é dada por:
Questão 3. Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para condições iniciais
e
, a solução da equação
no caso criticamente amortecido é
Informações e dados fornecidos que usaremos:
Também usaremos a definição da frequência natural
A prova deve mostrar passo a passo como obter a solução acima a partir da equação diferencial e das condições iniciais.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação em forma padrão dividindo por
:
Isto é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O próximo passo é escrever a equação característica associada — que é a equação algébrica cuja solução dá as exponenciais que compõem a solução da ODE.
Passo 3
A equação característica é obtida substituindo
, o que leva a:
Multiplicando por
para ficar mais claro:
As raízes dessa quadrática são
Passo 4
O caso criticamente amortecido corresponde ao discriminante igual a zero:
Deste modo obtemos a condição de amortecimento crítico
Usando
podemos reescrever
como
Quando o discriminante é zero, as duas raízes da equação característica coincidem (raiz dupla). A raiz repetida é
Passo 5
Para uma raiz dupla
a solução geral da equação homogênea tem a forma
porque para equações lineares com coeficientes constantes as soluções independentes são
e
quando há multiplicidade 2 da raiz
. Substituindo
temos
Passo 6
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
. Pela condição em
:
Logo
.
Passo 7
Calculamos a derivada
(produto e regra da cadeia) para aplicar
. Diferenciando
obtemos
ou, reorganizando,
Avaliar em
dá
Como
, isolamos
:
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral obtemos
que é exatamente a expressão que tínhamos que demonstrar. Intuição rápida: no amortecimento crítico a resposta é a exponencial atenuada multiplicada por um polinômio linear em
, o qual permite ajustar tanto posição inicial quanto velocidade inicial.