Para resolver as Questões 2 \mathbf{e 3}, considere as seguintes condições iniciais: x(t=0)=x_{0} \mathbf{e} \dot{x}(t=0)=\dot{x}_{0}
Questão 3. Mostre que, para um sistema criticamente amortecido, a solução da equação m \ddot{x}+c \dot{x}+k x=0 é dada por:
x(t)=\left(x_{0}+\left(\dot{x}_{0}+\omega_{n} x_{0}\right) t\right) e^{-\omega_{n} t} .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para condições iniciais \;x(t=0)=x_{0}\; e \;\dot{x}(t=0)=\dot{x}_{0}\;, a solução da equação
m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=0
no caso criticamente amortecido é
x(t)=\left(x_{0}+\left(\dot{x}_{0}+\omega_{n} x_{0}\right) t\right) e^{-\omega_{n} t}.
Informações e dados fornecidos que usaremos:
\text{condições iniciais: }\;x(0)=x_{0},\qquad \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}.çõ
\text{constantes: }\;m,\;c,\;k\qquad(\text{massa, amortecimento, rigidez}).
Também usaremos a definição da frequência natural
\omega_{n}=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
A prova deve mostrar passo a passo como obter a solução acima a partir da equação diferencial e das condições iniciais.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação em forma padrão dividindo por m:
\ddot{x}+\dfrac{c}{m}\dot{x}+\dfrac{k}{m}x=0.
Isto é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. O próximo passo é escrever a equação característica associada — que é a equação algébrica cuja solução dá as exponenciais que compõem a solução da ODE.

Passo 3

A equação característica é obtida substituindo x(t)=e^{rt}, o que leva a:
r^{2}+\dfrac{c}{m}r+\dfrac{k}{m}=0.
Multiplicando por m para ficar mais claro:
m r^{2}+c r+k=0.
As raízes dessa quadrática são
r=\dfrac{-c\pm\sqrt{c^{2}-4mk}}{2m}.

Passo 4

O caso criticamente amortecido corresponde ao discriminante igual a zero:
c^{2}-4mk=0.
Deste modo obtemos a condição de amortecimento crítico
c=2\sqrt{mk}.
Usando \omega_{n}=\sqrt{k/m} podemos reescrever c como
c=2m\omega_{n}.
Quando o discriminante é zero, as duas raízes da equação característica coincidem (raiz dupla). A raiz repetida é
r=\dfrac{-c}{2m}=-\omega_{n}.

Passo 5

Para uma raiz dupla r a solução geral da equação homogênea tem a forma
x(t)=(C_{1}+C_{2}\,t)e^{rt},
porque para equações lineares com coeficientes constantes as soluções independentes são e^{rt} e t e^{rt} quando há multiplicidade 2 da raiz r. Substituindo r=-\omega_{n} temos
x(t)=(C_{1}+C_{2}\,t)e^{-\omega_{n}t}.

Passo 6

Agora usamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Pela condição em t=0:
x(0)=(C_{1}+C_{2}\cdot 0)e^{0}=C_{1}=x_{0}.
Logo C_{1}=x_{0}.

Passo 7

Calculamos a derivada \dot{x}(t) (produto e regra da cadeia) para aplicar \dot{x}(0)=\dot{x}_{0}. Diferenciando
x(t)=(C_{1}+C_{2}t)e^{-\omega_{n}t}
obtemos
\dot{x}(t)=\bigl(C_{2} + (C_{1}+C_{2}t)(-\,\omega_{n})\bigr)e^{-\omega_{n}t}
ou, reorganizando,
\dot{x}(t)=\bigl(C_{2}-\omega_{n}C_{1}-\omega_{n}C_{2}t\bigr)e^{-\omega_{n}t}.
Avaliar em t=0
\dot{x}(0)=C_{2}-\omega_{n}C_{1}=\dot{x}_{0}.
Como C_{1}=x_{0}, isolamos C_{2}:
C_{2}=\dot{x}_{0}+\omega_{n}x_{0}.

Passo 8

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral obtemos
x(t)=\left(x_{0}+\left(\dot{x}_{0}+\omega_{n}x_{0}\right)t\right)e^{-\omega_{n}t},
que é exatamente a expressão que tínhamos que demonstrar. Intuição rápida: no amortecimento crítico a resposta é a exponencial atenuada multiplicada por um polinômio linear em t, o qual permite ajustar tanto posição inicial quanto velocidade inicial.

Resposta

x(t)=\left(x_{0}+\left(\dot{x}_{0}+\omega_{n} x_{0}\right) t\right) e^{-\omega_{n} t}

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