Calcule o número de Knudsen (Kn) para o escoamento de hélio a uma pressão de 1 mmHg em tubos de
e 100 mm de diâmetro. Sob quais condições a hipótese do contínuo não poderia ser aplicada?
Dica: considere que o “mean free path” seja definido como,
onde
e
são a viscosidade e a densidade do fluido,
é a temperature absoluta e
é constante do gás.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o número de Knudsen
para escoamento de hélio à pressão de
em tubos de diâmetros
,
,
e
. Também pede que eu diga sob quais condições a hipótese do contínuo não poderia ser aplicada.
Informações/assunções que vou usar (não foi dada temperatura, então escolho uma razoável para problemas práticos):
Informações/assunções que vou usar (não foi dada temperatura, então escolho uma razoável para problemas práticos):
- Pressão:
. (conversão usada: ). - Temperatura assumida:
(temperatura ambiente típica; se você tiver outra, posso refazer). - Viscosidade dinâmica do hélio à
: (valor tabulado). - Massa molar do hélio:
. - Constante universal dos gases:
. Daí a constante específica do gás hélio será . - Fórmula dada para o mean free path:
onde
é viscosidade dinâmica,
densidade,
constante específica do gás e
temperatura absoluta.
- Definição do número de Knudsen:
, com a dimensão característica (aqui, o diâmetro do tubo).
Não vou resolver nada ainda; só organizei os dados e as fórmulas que vou usar.
Passo 2
Breve aula sobre os conceitos que vamos usar (para você entender na prova):
- O mean free path
é, intuitivamente, a distância média que uma molécula percorre entre colisões com outras moléculas. A expressão que você deu relaciona à viscosidade e à densidade do gás; isso vem de teoria cinética dos gases e de relações de transporte para gases raros. Nessa fórmula: -
tem unidade , -
tem unidade , -
tem unidade , -
tem unidade .
O fatorajusta as velocidades térmicas médias das moléculas.
-
- O número de Knudsen
mede o quão “rarefeito” é o escoamento: -
: regime contínuo clássico (no-slip é válido). -
: regime de slip (continuidade ainda pode ser usada, mas é necessário considerar condições de contorno com slip). -
: regime de transição (teorias de continuidade falham; é necessário tratamento cinético). -
: regime livre-molecular (colisões com paredes dominam).
Esses intervalos são referências práticas — em prova cite-os se for pedir validade da hipótese do contínuo.
-
Passo 3
Calcular a constante específica
do hélio a partir de
e
. Explico cada passo:
(J/kg·K) é a constante universal dividida pela massa molar em kg/mol.
Agora calculo numericamente:
(Arredondei para três dígitos significativos; mantemos unidades.)
Passo 4
Calcular a densidade
do hélio na condição dada usando a equação dos gases ideais:
Substituindo
,
e
:
Faço a conta passo a passo:
. Então
Passo 5
Agora calculo
pela fórmula indicada. Primeiro explico os termos numéricos: vou calcular separadamente o numerador e o denominador da expressão
- Numerador:
. Com e ,
- Denominador:
. Primeiro calcule :
A raiz:
(essa grandeza tem dimensão de velocidade característica). Agora
.
Finalmente,
Finalmente,
Passo 6
Interpreto e converto
para milímetros para facilitar a comparação com os diâmetros:
Então, a distância média entre colisões das moléculas de hélio nas condições dadas é aproximadamente
.
Passo 7
Calculo agora o número de Knudsen para cada diâmetro
usando
. Converto os diâmetros para metros e mostro cada divisão:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Mostrei os arredondamentos para três algarismos significativos; nas contas da prova você pode usar dois ou três conforme necessário.
Passo 8
Interpretação prática (quando a hipótese do contínuo não pode ser aplicada): usando a classificação prática que expliquei no Passo 2, temos os seguintes regimes para os diâmetros considerados:
-
: — regime de transição para livre-molecular ( ); a hipótese do contínuo definitivamente NÃO é aplicável. É obrigatório usar modelos cinéticos (por exemplo, equação de Boltzmann ou métodos de partículas) ou considerar escoamento rarefeito. -
: — regime de transição ( ). A hipótese do contínuo com condição de no-slip falha; é preciso usar modelos de transição ou, no mínimo, incluir condições de contorno com slip e correções. -
: — regime de slip ( ). A aproximação contínua ainda pode ser usada, mas com condições de contorno de slip (ou correções de transporte). Para análises que exigem no-slip estrito, pode não ser suficiente. -
: — praticamente regime contínuo; a hipótese do contínuo (com no-slip) é, em geral, válida. Se for necessário rigor extremo, note que esse valor é próximo de , então efeitos de slip são muito pequenos.
Resumo prático: a hipótese do contínuo (no-slip) deixa de ser aplicável quando
(regime de transição e livre-molecular). Para
deve-se considerar slip nas condições de contorno.
Resposta
A hipótese do contínuo (no-slip) não é aplicável para