Calcule o número de Knudsen (Kn) para o escoamento de hélio a uma pressão de 1 mmHg em tubos de 0,1,1,10 e 100 mm de diâmetro. Sob quais condições a hipótese do contínuo não poderia ser aplicada?
Dica: considere que o “mean free path” seja definido como,
\lambda=\frac{\mu \sqrt{\pi}}{\rho \sqrt{2 R T}}
onde \mu e \rho são a viscosidade e a densidade do fluido, T é a temperature absoluta e R é constante do gás.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o número de Knudsen \mathrm{Kn} para escoamento de hélio à pressão de 1\\ \mathrm{mmHg} em tubos de diâmetros 0{,}1, 1, 10 e 100\\ \mathrm{mm}. Também pede que eu diga sob quais condições a hipótese do contínuo não poderia ser aplicada.
Informações/assunções que vou usar (não foi dada temperatura, então escolho uma razoável para problemas práticos):
  • Pressão: p = 1\\ \mathrm{mmHg} = 133{,}322\\ \mathrm{Pa}. (conversão usada: 1\\ \mathrm{mmHg}\approx133{,}322\\ \mathrm{Pa}).
  • Temperatura assumida: T = 300\\ \mathrm{K} (temperatura ambiente típica; se você tiver outra, posso refazer).
  • Viscosidade dinâmica do hélio à 300\\ \mathrm{K}: \mu = 1{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} (valor tabulado).
  • Massa molar do hélio: M\approx4{,}0026\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0040026\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Constante universal dos gases: R_u = 8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}. Daí a constante específica do gás hélio será \displaystyle R=\frac{R_u}{M}.
  • Fórmula dada para o mean free path:
\lambda=\frac{\mu\sqrt{\pi}}{\rho\sqrt{2 R T}},
onde \mu é viscosidade dinâmica, \rho densidade, R constante específica do gás e T temperatura absoluta.
  • Definição do número de Knudsen: \displaystyle \mathrm{Kn}=\frac{\lambda}{L}, com L a dimensão característica (aqui, o diâmetro do tubo).
    Não vou resolver nada ainda; só organizei os dados e as fórmulas que vou usar.

Passo 2

Breve aula sobre os conceitos que vamos usar (para você entender na prova):
  • O mean free path \lambda é, intuitivamente, a distância média que uma molécula percorre entre colisões com outras moléculas. A expressão que você deu relaciona \lambda à viscosidade \mu e à densidade \rho do gás; isso vem de teoria cinética dos gases e de relações de transporte para gases raros. Nessa fórmula:
    • \mu tem unidade \mathrm{Pa\cdot s},
    • \rho tem unidade \mathrm{kg/m^3},
    • R tem unidade \mathrm{J/(kg\cdot K)},
    • T tem unidade \mathrm{K}.
      O fator \sqrt{\pi}/\sqrt{2RT} ajusta as velocidades térmicas médias das moléculas.
  • O número de Knudsen \mathrm{Kn}=\lambda/L mede o quão “rarefeito” é o escoamento:
    • \mathrm{Kn}\lesssim10^{-3}: regime contínuo clássico (no-slip é válido).
    • 10^{-3}\lesssim\mathrm{Kn}\lesssim10^{-1}: regime de slip (continuidade ainda pode ser usada, mas é necessário considerar condições de contorno com slip).
    • 10^{-1}\lesssim\mathrm{Kn}\lesssim10: regime de transição (teorias de continuidade falham; é necessário tratamento cinético).
    • \mathrm{Kn}\gtrsim10: regime livre-molecular (colisões com paredes dominam).
      Esses intervalos são referências práticas — em prova cite-os se for pedir validade da hipótese do contínuo.

Passo 3

Calcular a constante específica R do hélio a partir de R_u e M. Explico cada passo: R (J/kg·K) é a constante universal dividida pela massa molar em kg/mol.
R=\frac{R_u}{M}=\frac{8{,}314462618}{0{,}0040026}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Agora calculo numericamente:
R\approx 2077\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
(Arredondei para três dígitos significativos; mantemos unidades.)

Passo 4

Calcular a densidade \rho do hélio na condição dada usando a equação dos gases ideais:
\rho=\frac{p}{R T}.
Substituindo p=133{,}322\\ \mathrm{Pa}, R\approx2077\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} e T=300\\ \mathrm{K}:
\rho=\frac{133{,}322}{2077\cdot300}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Faço a conta passo a passo: 2077\cdot300=623100. Então
\rho\approx\frac{133{,}322}{623100}\approx2{,}14\times10^{-4}\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Agora calculo \lambda pela fórmula indicada. Primeiro explico os termos numéricos: vou calcular separadamente o numerador e o denominador da expressão
\lambda=\frac{\mu\sqrt{\pi}}{\rho\sqrt{2 R T}}.
  • Numerador: \mu\sqrt{\pi}. Com \mu=1{,}96\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s} e \sqrt{\pi}\approx1{,}77245385,
\mu\sqrt{\pi}=1{,}96\times10^{-5}\times1{,}77245385\approx3{,}47\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Denominador: \rho\sqrt{2 R T}. Primeiro calcule 2RT:
2 R T = 2\cdot2077\cdot300 = 1{,}246{,}200\\ \mathrm{(J/kg)}.
A raiz:
\sqrt{2 R T}\approx\sqrt{1{,}246{,}200}\approx1116{,}4\\ \mathrm{(m/s)}.
(essa grandeza tem dimensão de velocidade característica). Agora \rho\sqrt{2RT}=2{,}14\times10^{-4}\cdot1116{,}4\approx0{,}2387\\ \mathrm{kg/(m^2\cdot s)}.
Finalmente,
\lambda\approx\frac{3{,}47\times10^{-5}}{0{,}2387}\\ \mathrm{m}\approx1{,}455\times10^{-4}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpreto e converto \lambda para milímetros para facilitar a comparação com os diâmetros:
\lambda\approx1{,}455\times10^{-4}\\ \mathrm{m}=0{,}1455\\ \mathrm{mm}\approx0{,}146\\ \mathrm{mm}.
Então, a distância média entre colisões das moléculas de hélio nas condições dadas é aproximadamente 0{,}146\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Calculo agora o número de Knudsen para cada diâmetro D usando \mathrm{Kn}=\lambda/D. Converto os diâmetros para metros e mostro cada divisão:
  • Para D=0{,}1\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Kn}=\frac{1{,}455\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-4}}\approx1{,}455\approx1{,}46.
  • Para D=1\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Kn}=\frac{1{,}455\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-3}}\approx0{,}1455\approx0{,}146.
  • Para D=10\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-2}\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Kn}=\frac{1{,}455\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-2}}\approx0{,}01455\approx0{,}0146.
  • Para D=100\\ \mathrm{mm}=1{,}0\times10^{-1}\\ \mathrm{m}:
\mathrm{Kn}=\frac{1{,}455\times10^{-4}}{1{,}0\times10^{-1}}\approx0{,}001455\approx0{,}00146.
Mostrei os arredondamentos para três algarismos significativos; nas contas da prova você pode usar dois ou três conforme necessário.

Passo 8

Interpretação prática (quando a hipótese do contínuo não pode ser aplicada): usando a classificação prática que expliquei no Passo 2, temos os seguintes regimes para os diâmetros considerados:
  • D=0{,}1\\ \mathrm{mm}: \mathrm{Kn}\approx1{,}46 — regime de transição para livre-molecular ( \mathrm{Kn}\gtrsim1); a hipótese do contínuo definitivamente NÃO é aplicável. É obrigatório usar modelos cinéticos (por exemplo, equação de Boltzmann ou métodos de partículas) ou considerar escoamento rarefeito.
  • D=1\\ \mathrm{mm}: \mathrm{Kn}\approx0{,}146 — regime de transição ( 0{,}1\lesssim\mathrm{Kn}\lesssim10 ). A hipótese do contínuo com condição de no-slip falha; é preciso usar modelos de transição ou, no mínimo, incluir condições de contorno com slip e correções.
  • D=10\\ \mathrm{mm}: \mathrm{Kn}\approx0{,}0146 — regime de slip ( 10^{-3}\lesssim\mathrm{Kn}\lesssim10^{-1} ). A aproximação contínua ainda pode ser usada, mas com condições de contorno de slip (ou correções de transporte). Para análises que exigem no-slip estrito, pode não ser suficiente.
  • D=100\\ \mathrm{mm}: \mathrm{Kn}\approx0{,}00146 — praticamente regime contínuo; a hipótese do contínuo (com no-slip) é, em geral, válida. Se for necessário rigor extremo, note que esse valor é próximo de 10^{-3}, então efeitos de slip são muito pequenos.
Resumo prático: a hipótese do contínuo (no-slip) deixa de ser aplicável quando \mathrm{Kn}\gtrsim0{,}1 (regime de transição e livre-molecular). Para 10^{-3}\lesssim\mathrm{Kn}\lesssim0{,}1 deve-se considerar slip nas condições de contorno.

Resposta

\mathrm{Kn}(D=0{,}1\\ \mathrm{mm})\approx1{,}46
\mathrm{Kn}(D=1\\ \mathrm{mm})\approx0{,}146
\mathrm{Kn}(D=10\\ \mathrm{mm})\approx0{,}0146
\mathrm{Kn}(D=100\\ \mathrm{mm})\approx0{,}00146
A hipótese do contínuo (no-slip) não é aplicável para \mathrm{Kn}\gtrsim0{,}1 (regime de transição e livre-molecular).

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