Considere uma partícula de massa
e carga
sob influência de potencial harmônico unidimensional. Um campo elétrico constante
é aplicado, de modo que o hamiltoniano agora é:
Mostre que as energias dessa partícula podem ser escritas como:
DICA: Não precisa resolver todo o problema usando a equação de Schrödinger. Apenas explore a simetria do novo potencial e use as soluções que você já conhece. Deixe seu raciocínio explícito na folha de resposta. Na prática, basta fazer uma troca de variável no hamiltoniano e a solução fica explicitada nele.
Passo 1
O enunciado descreve uma partícula de massa
e carga
num oscilador harmônico unidimensional com frequência
, sujeita a um campo elétrico constante
. O Hamiltoniano é
Nosso objetivo é obter os níveis de energia sem resolver a equação de Schrödinger do zero, mas sim usando uma mudança de variável que transforme esse Hamiltoniano num oscilador harmônico padrão mais uma constante.
Passo 2
Definimos uma nova coordenada deslocada
de modo que a parte linear em
desapareça. Como o momento canônico
,
permanece o mesmo operador em primadas. Substituímos em
.
Para eliminar o termo em , escolhemos
de forma que
Para eliminar o termo em
Passo 3
Com
, expandimos o potencial:
O coeficiente de
se anula por construção. O termo constante fica
Logo o Hamiltoniano vira
Passo 4
O operador
é exatamente o Hamiltoniano do oscilador harmônico padrão, cujos autovalores são
é exatamente o Hamiltoniano do oscilador harmônico padrão, cujos autovalores são
Assim, basta subtrair a constante
para obter os níveis do sistema original.