Considere uma partícula de massa m e carga q sob influência de potencial harmônico unidimensional. Um campo elétrico constante \varepsilon é aplicado, de modo que o hamiltoniano agora é:
\widehat{H}=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} \hat{x}^{2}-q \varepsilon \hat{x}
Mostre que as energias dessa partícula podem ser escritas como:
E_{n}=\left(n+\frac{1}{2}\right) \hbar \omega-\frac{q^{2} \varepsilon^{2}}{2 m \omega^{2}}
DICA: Não precisa resolver todo o problema usando a equação de Schrödinger. Apenas explore a simetria do novo potencial e use as soluções que você já conhece. Deixe seu raciocínio explícito na folha de resposta. Na prática, basta fazer uma troca de variável no hamiltoniano e a solução fica explicitada nele.

Passo 1

O enunciado descreve uma partícula de massa m e carga q num oscilador harmônico unidimensional com frequência \omega, sujeita a um campo elétrico constante \varepsilon. O Hamiltoniano é
\widehat H = \frac{\hat p^2}{2m} + \frac12\,m\omega^2\hat x^2 \;-\;q\,\varepsilon\,\hat x.
Nosso objetivo é obter os níveis de energia sem resolver a equação de Schrödinger do zero, mas sim usando uma mudança de variável que transforme esse Hamiltoniano num oscilador harmônico padrão mais uma constante.

Passo 2

Definimos uma nova coordenada deslocada
\hat x = \hat x' + a,
de modo que a parte linear em \hat x' desapareça. Como o momento canônico \hat p = -i\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d}x = -i\hbar\,\mathrm{d}/\mathrm{d}x', \hat p permanece o mesmo operador em primadas. Substituímos em \frac12\,m\omega^2(\hat x')^2 + m\omega^2\,a\,\hat x' + \frac12\,m\omega^2a^2 - q\varepsilon(\hat x' + a).
Para eliminar o termo em \hat x', escolhemos a de forma que
m\omega^2\,a \;=\; q\,\varepsilon \qquad\Longrightarrow\qquad a = \frac{q\varepsilon}{m\omega^2}.

Passo 3

Com a = q\varepsilon/(m\omega^2), expandimos o potencial:
\frac12\,m\omega^2(\hat x'+a)^2 - q\varepsilon(\hat x'+a) =\frac12\,m\omega^2(\hat x')^2 \;+\;\Bigl(m\omega^2a - q\varepsilon\Bigr)\hat x' \;+\;\Bigl(\tfrac12\,m\omega^2a^2 - q\varepsilon\,a\Bigr).
O coeficiente de \hat x' se anula por construção. O termo constante fica
\tfrac12\,m\omega^2a^2 - q\varepsilon\,a =\frac12\,m\omega^2\Bigl(\frac{q\varepsilon}{m\omega^2}\Bigr)^{2} -\;q\varepsilon\,\frac{q\varepsilon}{m\omega^2} =-\;\frac{q^{2}\varepsilon^{2}}{2\,m\,\omega^{2}}.
Logo o Hamiltoniano vira
\widehat H =\frac{\hat p'^2}{2m} + \frac12\,m\omega^2\hat x'^{2} \;-\;\frac{q^{2}\varepsilon^{2}}{2\,m\,\omega^{2}}.

Passo 4

O operador \displaystyle \frac{\hat p'^2}{2m} + \frac12\,m\omega^2\hat x'^{2}
é exatamente o Hamiltoniano do oscilador harmônico padrão, cujos autovalores são
E_n^{(0)} = \bigl(n+\tfrac12\bigr)\hbar\omega \quad(n=0,1,2,\dots).
Assim, basta subtrair a constante \displaystyle \tfrac{q^{2}\varepsilon^{2}}{2\,m\,\omega^{2}} para obter os níveis do sistema original.

Resposta

E_{n} = \Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega \;-\;\frac{q^{2}\varepsilon^{2}}{2\,m\,\omega^{2}}.

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