Em sala de aula resolvemos o problema do oscilador harmônico quântico e encontramos uma expressão para os valores de sua energia. Aqui você vai resolver o mesmo problema, mas para o caso de “semi-oscilador harmônico”, ou seja, um que esteja sujeito ao potencial:
V(x)= \begin{cases}+\infty, & x \leq 0 \\\ \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}, & x>0\end{cases}
Mostre que as novas energias podem ser dadas escritas como:
E_{n}=\left(2 n+\frac{3}{2}\right) \hbar \omega, \quad n=0,1,2,3, \ldots

Passo 1

O enunciado define o “semi-oscilador harmônico” com potencial
V(x)= \begin{cases} +\infty,&x\le0,\\\ \dfrac12\,m\omega^2x^2,&x>0, \end{cases}
ou seja, para x>0 temos o mesmo potencial do oscilador harmônico usual, mas obrigatório \psi(0)=0 pela barreira infinita. Para resolver, vamos usar a equação de Schrödinger estacionária e depois impor essa condição no x=0.

Passo 2

Para x>0 a equação de Schrödinger unidimensional é
-\frac{\hbar^2}{2m}\,\frac{d^2\psi}{dx^2} + \frac12\,m\omega^2x^2\,\psi = E\,\psi.
Sabemos que as soluções desta equação, no domínio inteiro (-\infty,\infty), são as funções próprias do oscilador harmônico, dadas em termos de polinômios de Hermite, com energias
E_n^{\text{full}} = \Bigl(n+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega,\quad n=0,1,2,\dots
e paridade (-1)^n.

Passo 3

As autofunções do oscilador harmônico completo satisfazem
\psi_n(-x)=(-1)^n\,\psi_n(x),
ou seja, para n par \psi_n(0)\neq0 (função ímpar de ordem par não se anula em zero) e para n ímpar \psi_n(0)=0.

Passo 4

No semi-oscilador impomos \psi(0)=0. Logo, só podemos escolher as autofunções do oscilador completo que já se anulam em x=0, ou seja, as de n ímpar. Escrevendo n=2k+1 com k=0,1,2,\dots, as energias correspondentes são
E_{2k+1}^{\text{full}} =\Bigl((2k+1)+\tfrac12\Bigr)\hbar\omega =\Bigl(2k+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega.

Passo 5

Bastando reindexar k\to n, chegamos ao resultado desejado para o semi-oscilador harmônico:
E_{n}=\Bigl(2n+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega, \qquad n=0,1,2,\dots

Resposta

E_{n}=\Bigl(2n+\tfrac32\Bigr)\hbar\omega,\quad n=0,1,2,\ldots

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