Considere uma partícula de massa m se movendo em um campo de força central atrativo com energia potencial dada por:
V=-kr cos (omega t)
onde k e omega são constantes, t é o tempo, e r a distância radial da partícula ao centro da força.
Obtenha a Lagrangiana e as equações de movimento.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa m se movendo num campo central cuja energia potencial depende de r e do tempo:
.
O conteúdo aqui é Mecânica Analítica (Lagrangiana) e o que a gente vai usar é:
  1. Energia cinética em coordenadas polares;
  2. Definição de Lagrangiana ;
  3. Equações de Euler–Lagrange para cada coordenada generalizada.

Passo 2

Primeiro a gente escolhe coordenadas polares T = tfrac12,ml(dot r^2 + r^2dotvarphi^2r) , porque força central garante movimento em um plano.
  • Energia cinética:
V = -krcos(omega t)
  • Energia potencial (já dada):
L = T - V = 12,ml(dot r^2 + r^2dotvarphi^2r) + krcos(omega t)
Logo a Lagrangiana é

Passo 3

Agora aplicamos Euler–Lagrange em ddt!l(partial Lpartialdot rr) - partial Lpartial r =0 :
m,ddot r - l(m,r,dotvarphi^2 - kr^2cos(omega t)r) =0 ;;Longrightarrow;; m,ddot r - m,r,dotvarphi^2 + kr^2cos(omega t)=0
  • , então .
  • .
    Substituindo:

Passo 4

Agora Euler–Lagrange em ddt!l(partial Lpartialdotvarphir) - partial Lpartialvarphi =0 :
ddtl(m,r^2dotvarphir)=0,
Como não depende de explicitamente ( ) e
, dá
que é a conservação do momento angular:

Resposta

Lagrangiana:
boxedL = 12,ml(dot r^2 + r^2dotvarphi^2r) + krcos(omega t)
Equações de movimento:
boxed m,ddot r - m,r,dotvarphi^2 + dfrackr^2cos(omega t) = 0,[6pt] dfracddtl(m,r^2dotvarphir)=0

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