Considere uma partícula de massa
se movendo em um campo de força central atrativo com energia potencial dada por:
onde
e
são constantes,
é o tempo, e
a distância radial da partícula ao centro da força.
Obtenha a Lagrangiana e as equações de movimento.
Obtenha a Lagrangiana e as equações de movimento.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que a gente tem uma partícula de massa m se movendo num campo central cuja energia potencial depende de r e do tempo:
.
O conteúdo aqui é Mecânica Analítica (Lagrangiana) e o que a gente vai usar é:
O conteúdo aqui é Mecânica Analítica (Lagrangiana) e o que a gente vai usar é:
- Energia cinética em coordenadas polares;
- Definição de Lagrangiana
; - Equações de Euler–Lagrange para cada coordenada generalizada.
Passo 2
Primeiro a gente escolhe coordenadas polares
, porque força central garante movimento em um plano.
- Energia cinética:
- Energia potencial (já dada):
Logo a Lagrangiana é
Passo 3
Agora aplicamos Euler–Lagrange em
:
-
, então . -
.
Substituindo:
Passo 4
Agora Euler–Lagrange em
:
Como
não depende de
explicitamente (
) e
, dá
que é a conservação do momento angular:
Resposta
Lagrangiana:
Equações de movimento: