Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas
é dada por
onde
é uma constante arbitrária.
Encontre os valores de
para os quais existem órbitas circulares.
Encontre os valores de
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um Lagrangeano em coordenadas esféricas
A matéria é Mecânica Analítica (Lagrangeanos) e o que precisamos fazer é:
- identificar constantes de movimento (porque tem simetria em φ),
- escrever a equação de Euler–Lagrange para r,
- exigir órbita circular (r constante →
), - achar o r que satisfaz tudo isso.
Passo 2
Primeiro, para órbita circular a gente coloca
Além disso, sem perda de generalidade escolhemos o plano equatorial
porque o movimento fica todo nesse “cintinho” do equador.
Passo 3
Agora achamos a constante de movimento em φ:
Chamamos isso de
dotphi = Lm,r^2 (momento angular). Logo
Passo 4
Escrevemos a equação de Euler–Lagrange em
ddtl(partial Lpartial dot rr) ;-;partial Lpartial r ;=;0 :
Mas como
m,rl(Lm,r^2r)^2 =kr^2 Longrightarrow L^2m,r^3=kr^2 ;;Rightarrow;; L^2=m,k,r , quase tudo some e sobra só
Substituindo
:
Resposta
que é o raio (único) onde a órbita circular se sustenta.