Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas (r, theta, phi) é dada por
L=m2(dotr^2+r^2 dottheta^2+r^2 sin ^2 theta dotphi^2)-kr(1+12 dotr^2c^2)
onde k é uma constante arbitrária.
Encontre os valores de r para os quais existem órbitas circulares.

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos um Lagrangeano em coordenadas esféricas
L=m2l(dot r^2+r^2dottheta^2+r^2sin^2theta,dotphi^2r) ;-;krl(1+tfrac12dot r^2c^2r),
A matéria é Mecânica Analítica (Lagrangeanos) e o que precisamos fazer é:
  1. identificar constantes de movimento (porque tem simetria em φ),
  2. escrever a equação de Euler–Lagrange para r,
  3. exigir órbita circular (r constante → ),
  4. achar o r que satisfaz tudo isso.

Passo 2

Primeiro, para órbita circular a gente coloca
r = constante, dot r=0, ddot r=0
Além disso, sem perda de generalidade escolhemos o plano equatorial
theta = pi2, dottheta = 0,
porque o movimento fica todo nesse “cintinho” do equador.

Passo 3

Agora achamos a constante de movimento em φ:
pphi ;=;partial Lpartial dotphi ;=;m,r^2sin^2theta;dotphi ;xrightarrowtheta=pi/2; m,r^2,dotphi
Chamamos isso de dotphi = Lm,r^2 (momento angular). Logo

Passo 4

Escrevemos a equação de Euler–Lagrange em ddtl(partial Lpartial dot rr) ;-;partial Lpartial r ;=;0 :
m,r,sin^2theta;dotphi^2;-;kr^2 ;=;0 longrightarrow m,r,dotphi^2=kr^2 (sintheta=1)
Mas como m,rl(Lm,r^2r)^2 =kr^2 Longrightarrow L^2m,r^3=kr^2 ;;Rightarrow;; L^2=m,k,r , quase tudo some e sobra só
Substituindo :

Resposta

r ;=;L^2m,k,,
que é o raio (único) onde a órbita circular se sustenta.

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