Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas (r, theta, phi) é dada por
L=m2(dotr^2+r^2 dottheta^2+r^2 sin ^2 theta dotphi^2)-kr(1+12 dotr^2c^2)
onde k é uma constante arbitrária.
Encontre a Hamiltoniana do sistema.

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede?
Temos uma Lagrangiana em coordenadas esféricas
L=m2l(dot r^2 + r^2dottheta^2 + r^2sin^2theta,dotphi^2r) ;-;krl(1+dot r^22c^2r)
e queremos achar a Hamiltoniana pi ;=;partial Lpartialdot qi .
Isso é um problema de Mecânica Analítica: usar a definição dos momentos canônicos
H = sumi pidot qi ;-; L
e depois fazer a transformada de Legendre

Passo 2

Vamos achar primeiro os momentos canônicos:
  1. Para pr = partial Lpartialdot r = m,dot r ;-;kr,dot rc^2 = l(m - kr,c^2r)dot r :
ptheta = partial Lpartialdottheta = m,r^2,dottheta
  1. Para pphi = partial Lpartialdotphi = m,r^2sin^2theta,dotphi :
  1. Para :

Passo 3

Agora invertemos para obter as velocidades em função dos dot r = pr,m - dfrackr,c^2,, dottheta = pthetam,r^2, dotphi = pphim,r^2sin^2theta :

Passo 4

Fazemos o Hamiltoniano
H = prdot r + pthetadottheta + pphidotphi - L
Se você substituir as H = pr^22!l(m - tfrackr c^2r) + ptheta^22,m,r^2 + pphi^22,m,r^2sin^2theta + kr e recolher termos, dá pra mostrar que
Aqui o primeiro termo vem do “ ” corrigido pelo fator relativístico pequeno,
os dois seguintes são energia cinética angulares,
e é o potencial.

Resposta

boxed H(r,theta,phi;pr,ptheta,pphi) =;pr^22l(m - tfrackr,c^2r) ;+;ptheta^22mr^2 ;+;pphi^22mr^2sin^2theta ;+;kr

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