Considere que a Lagrangiana de um sistema mecânico em coordenadas esféricas
é dada por
onde
é uma constante arbitrária.
Encontre a Hamiltoniana do sistema.
Encontre a Hamiltoniana do sistema.
Passo 1
Beleza, então o que o exercício pede?
Temos uma Lagrangiana em coordenadas esféricas
Temos uma Lagrangiana em coordenadas esféricas
e queremos achar a Hamiltoniana
.
Isso é um problema de Mecânica Analítica: usar a definição dos momentos canônicos
Isso é um problema de Mecânica Analítica: usar a definição dos momentos canônicos
e depois fazer a transformada de Legendre
Passo 2
Vamos achar primeiro os momentos canônicos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 3
Agora invertemos para obter as velocidades em função dos
:
Passo 4
Fazemos o Hamiltoniano
Se você substituir as
e recolher termos, dá pra mostrar que
Aqui o primeiro termo vem do “
” corrigido pelo fator relativístico pequeno,
os dois seguintes são energia cinética angulares,
e é o potencial.
os dois seguintes são energia cinética angulares,
e