Considere uma partícula de massa
movendo-se no espaço tridimensional, sujeita a um potencial dado por
em que
e
são constantes positivas.
a) Escreva a energia cinética
do sistema em coordenadas cartesianas (
) e, em seguida, obtenha a Lagrangiana
.
b) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha as equações de movimento para as coordenadas
e
.
c) A partir da equação de movimento na direção
, mostre que o momento linear nessa direção é conservado. Interprete esse resultado com base na forma do potencial.
a) Escreva a energia cinética
b) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha as equações de movimento para as coordenadas
c) A partir da equação de movimento na direção
Passo 1
O enunciado nos dá:
- Uma partícula de massa
que se move em três dimensões com coordenadas cartesianas . - Um potencial que depende apenas de
e :
onde
e
são constantes.
As perguntas são:
(a) Escrever a energia cinética em coordenadas
e obter a Lagrangiana
.
(b) Usar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento em .
(c) A partir da equação de movimento em , mostrar que o momento linear nessa direção é conservado e interpretar fisicamente esse resultado com base na forma do potencial.
(a) Escrever a energia cinética
(b) Usar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento em
(c) A partir da equação de movimento em
Passo 2
Primeiro, o que é energia cinética para uma partícula puntiforme em coordenadas cartesianas? Para uma partícula de massa
com posição
, as componentes da velocidade são
,
e
. A energia cinética clássica é a soma das energias associadas a cada componente da velocidade:
Explicação: cada termo
é a contribuição da velocidade na direção
; somamos as três porque o movimento é tridimensional e as energias somam.
Passo 3
A Lagrangiana é definida como a diferença entre energia cinética e potencial:
Substituindo
e
que temos,
Aqui cada símbolo significa:
-
: massa da partícula (constante). -
: velocidades nas direções . -
: coeficiente linear em do potencial (força constante na direção ). -
: constante do termo quadrático em (constante elástica efetiva).
Passo 4
Vou usar a equação de Euler–Lagrange. Para uma coordenada generalizada
(aqui
), a equação é
Explicação didática:
é o momento conjugado à coordenada
; a equação diz que a taxa de variação temporal desse momento é igual à derivada negativa de
em relação a
, o que reproduz a segunda lei de Newton quando
.
Passo 5
Aplicação para a coordenada
.
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
pois
não depende explicitamente de
(o potencial dado não contém
). Agora aplicamos Euler–Lagrange:
Interpretação imediata: a equação
significa que a aceleração na direção
é zero, ou seja
.
Passo 6
Aplicação para a coordenada
.
Primeiro as derivadas:
pois
contém o termo
vindo do
. Agora Euler–Lagrange:
Isolando a aceleração:
Interpretação física: há uma força constante
(não depende de
), logo a partícula tem aceleração constante na direção
. Se for útil resolver explicitamente no tempo, integrando duas vezes:
Passo 7
Aplicação para a coordenada
.
Calculemos as derivadas:
porque
contém o termo
. A equação de Euler–Lagrange dá:
Rearranjando:
Isto é a equação do oscilador harmônico simples com frequência angular
A solução geral (integrando) é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais
e
.
Passo 8
Mostrando explicitamente que o momento linear em
é conservado e interpretando.
O momento conjugado à coordenada
é
Da equação encontrada em
Passo 9
Interpretação física simples: a força na direção
é dada por
. Como o potencial dado não depende de
(peguei essa informação do enunciado), tem-se
Logo não há força atuando na direção
; por isso o movimento nessa direção é livre (velocidade constante) e o momento linear
é conservado. Em termos mais conceituais: a ausência de dependência de
no potencial corresponde a uma simetria de translação em
, e essa simetria implica conservação do momento linear nessa direção.
Resposta
(a)
(b) Equações de movimento:
(c) O momento linear em
é
e
, ou seja
é conservado. Interpretação: o potencial não depende de
, logo não há força em
(
) e o movimento em
é livre (velocidade/momento constante).