Considere uma partícula de massa m movendo-se no espaço tridimensional, sujeita a um potencial dado por
V(y, z)=a y+\frac{1}{2} k z^{2}
em que a e k são constantes positivas.
a) Escreva a energia cinética T do sistema em coordenadas cartesianas ( x, y, z ) e, em seguida, obtenha a Lagrangiana L=T-V.
b) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha as equações de movimento para as coordenadas x, y e z.
c) A partir da equação de movimento na direção x, mostre que o momento linear nessa direção é conservado. Interprete esse resultado com base na forma do potencial.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • Uma partícula de massa m que se move em três dimensões com coordenadas cartesianas (x,y,z).
  • Um potencial que depende apenas de y e z:
V(y,z)=a\,y+\frac{1}{2}k z^{2},
onde a>0 e k>0 são constantes.
As perguntas são:
(a) Escrever a energia cinética T em coordenadas x,y,z e obter a Lagrangiana L=T-V.
(b) Usar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento em x,y,z.
(c) A partir da equação de movimento em x, mostrar que o momento linear nessa direção é conservado e interpretar fisicamente esse resultado com base na forma do potencial.

Passo 2

Primeiro, o que é energia cinética para uma partícula puntiforme em coordenadas cartesianas? Para uma partícula de massa m com posição (x(t),y(t),z(t)), as componentes da velocidade são \dot x=\dfrac{dx}{dt}, \dot y=\dfrac{dy}{dt} e \dot z=\dfrac{dz}{dt}. A energia cinética clássica é a soma das energias associadas a cada componente da velocidade:
T=\tfrac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}+\dot z^{2}\big).
Explicação: cada termo \tfrac{1}{2}m\dot q^{2} é a contribuição da velocidade na direção q; somamos as três porque o movimento é tridimensional e as energias somam.

Passo 3

A Lagrangiana é definida como a diferença entre energia cinética e potencial:
L=T-V.
Substituindo T e V que temos,
L=\tfrac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}+\dot z^{2}\big)-\left(a\,y+\tfrac{1}{2}k z^{2}\right).
Aqui cada símbolo significa:
  • m: massa da partícula (constante).
  • \dot x,\dot y,\dot z: velocidades nas direções x,y,z.
  • a: coeficiente linear em y do potencial (força constante na direção -y).
  • k: constante do termo quadrático em z (constante elástica efetiva).

Passo 4

Vou usar a equação de Euler–Lagrange. Para uma coordenada generalizada q (aqui x,y,z), a equação é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.
Explicação didática: \dfrac{\partial L}{\partial \dot q} é o momento conjugado à coordenada q; a equação diz que a taxa de variação temporal desse momento é igual à derivada negativa de L em relação a q, o que reproduz a segunda lei de Newton quando L=T-V.

Passo 5

Aplicação para a coordenada x.
Calculemos as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x, \qquad \frac{\partial L}{\partial x}=0,
pois L não depende explicitamente de x (o potencial dado não contém x). Agora aplicamos Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\big(m\dot x\big)-0=0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot x=0.
Interpretação imediata: a equação m\ddot x=0 significa que a aceleração na direção x é zero, ou seja \ddot x=0.

Passo 6

Aplicação para a coordenada y.
Primeiro as derivadas:
\frac{\partial L}{\partial \dot y}=m\dot y, \qquad \frac{\partial L}{\partial y}=-a,
pois L contém o termo -a\,y vindo do -V. Agora Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\big(m\dot y\big)-(-a)=0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot y + a =0.
Isolando a aceleração:
m\ddot y = -a.
Interpretação física: há uma força constante F_{y}=-a (não depende de y), logo a partícula tem aceleração constante na direção y. Se for útil resolver explicitamente no tempo, integrando duas vezes:
\dot y(t)=\dot y(0)-\frac{a}{m}t, \qquad y(t)=y(0)+\dot y(0)\,t-\frac{a}{2m}t^{2}.

Passo 7

Aplicação para a coordenada z.
Calculemos as derivadas:
\frac{\partial L}{\partial \dot z}=m\dot z, \qquad \frac{\partial L}{\partial z}=-k z,
porque L contém o termo -\tfrac{1}{2}k z^{2}. A equação de Euler–Lagrange dá:
\frac{d}{dt}\big(m\dot z\big)-(-k z)=0 \quad\Longrightarrow\quad m\ddot z + k z =0.
Rearranjando:
m\ddot z = -k z.
Isto é a equação do oscilador harmônico simples com frequência angular
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
A solução geral (integrando) é
z(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais z(0) e \dot z(0).

Passo 8

Mostrando explicitamente que o momento linear em x é conservado e interpretando.
O momento conjugado à coordenada x é
p_{x}=\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x.
Da equação encontrada em

Passo 9

Interpretação física simples: a força na direção x é dada por -\dfrac{\partial V}{\partial x}. Como o potencial dado não depende de x (peguei essa informação do enunciado), tem-se
F_{x}=-\frac{\partial V}{\partial x}=0.
Logo não há força atuando na direção x; por isso o movimento nessa direção é livre (velocidade constante) e o momento linear p_{x} é conservado. Em termos mais conceituais: a ausência de dependência de x no potencial corresponde a uma simetria de translação em x, e essa simetria implica conservação do momento linear nessa direção.

Resposta

(a) L=\tfrac{1}{2}m\big(\dot x^{2}+\dot y^{2}+\dot z^{2}\big)-\left(a\,y+\tfrac{1}{2}k z^{2}\right).
(b) Equações de movimento:
m\ddot x=0, \qquad m\ddot y=-a, \qquad m\ddot z=-k z.
(c) O momento linear em x é
p_{x}=m\dot x,
e \dfrac{d}{dt}p_{x}=0, ou seja p_{x} é conservado. Interpretação: o potencial não depende de x, logo não há força em x ( F_{x}=0) e o movimento em x é livre (velocidade/momento constante).

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