Considere um pêndulo simples de comprimento
e massa
, sujeito a um campo gravitacional uniforme
.
a) Escolha como coordenada generalizada o ângulo
medido a partir da vertical. Utilize as relações
b) A partir das expressões acima, escreva a energia cinética do sistema,
e reescreva-a em termos de
e
.
c) Mostre que a energia potencial gravitacional pode ser escrita como
d) Obtenha a Lagrangiana do sistema,
.
e) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha a equação de movimento do sistema.
a) Escolha como coordenada generalizada o ângulo
c) Mostre que a energia potencial gravitacional pode ser escrita como
e) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha a equação de movimento do sistema.
Passo 1
O enunciado pede, passo a passo, para trabalhar o pêndulo simples com comprimento
e massa
:
- (a) escolher a coordenada generalizada
medida a partir da vertical e usar as relações dadas. - (b) escrever a energia cinética
usando e . - (c) mostrar que a energia potencial gravitacional é
. - (d) obter a Lagrangiana
. - (e) usar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.
Informações relevantes fornecidas:
- Coordenadas do corpo:
- Energia cinética em termos de
: - Constantes físicas: massa
, comprimento , aceleração da gravidade .
Observação:é a coordenada generalizada (função do tempo); pontos acima serão usados nas contas.
Passo 2
(a) Coordenada escolhida: a coordenada generalizada é
(ângulo em relação à vertical). As relações geométricas já dadas são reapresentadas:
Comentário didático curto: aqui
descreve a posição do pêndulo; ao variar
o ponto material se desloca ao longo de um arco de raio
.
Passo 3
Para escrever
em termos de
precisamos das velocidades
e
. Aplicamos a regra da cadeia (derivada temporal de uma função de
):
Derivando
em relação ao tempo:
Derivando
em relação ao tempo:
Explicação didática: a notação
significa
. Usamos que
e
, depois multiplicamos por
(regra da cadeia).
Passo 4
Agora substituímos
e
em
. Começamos escrevendo:
Fatorando
:
Usando a identidade trigonométrica fundamental
, obtemos a forma simples:
Explicação didática: o resultado significa que a energia cinética depende apenas da velocidade angular
e do momento de inércia efetivo
(para o ponto material a distância
do pivô).
Passo 5
(c) Energia potencial gravitacional. A energia potencial gravitacional pode ser escrita como
, onde
é a altura vertical medida a partir de uma referência escolhida. Aqui as coordenadas fornecidas usam
. Para fixar a convenção que leva ao enunciado, escolhemos a referência de potencial tal que
(equivalente a tomar zero de potencial em algum ponto acima, ou interpretar
como coordenada para baixo); substituindo
:
Comentário didático: a escolha do zero de energia potencial é arbitrária; o importante é a dependência funcional em
. A expressão pedida
corresponde à convenção adotada.
Passo 6
(d) Lagrangiana. Definimos a Lagrangiana do sistema por
. Usando os resultados dos passos anteriores:
Portanto:
Explicação didática: a Lagrangiana reúne energia cinética e potencial; aqui aparece o termo
que contém a dependência espacial responsável pela força restauradora do pêndulo.
Passo 7
(e) Equação de movimento pela equação de Euler–Lagrange. A equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada
é
Calculamos as derivadas parciais:
Primeiro,
pois o segundo termo não depende de
.
Derivando no tempo:
Agora a derivada parcial em relação a
:
Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
Dividindo por
(não zero):
Interpretação física rápida: essa é a equação não linear do pêndulo simples. Para pequenas oscilações (
em radianos) usa-se a aproximação
, obtendo o oscilador harmônico simples
.
Resposta
(a) Coordenada generalizada:
com
(b)
(c)
(d)
(e) Equação de movimento:
(b)
(c)
(d)
(e) Equação de movimento: