Considere um pêndulo simples de comprimento L e massa m, sujeito a um campo gravitacional uniforme g.
a) Escolha como coordenada generalizada o ângulo \theta medido a partir da vertical. Utilize as relações
x=L \sin \theta, \quad y=L \cos \theta
b) A partir das expressões acima, escreva a energia cinética do sistema,
T=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}\right)
e reescreva-a em termos de L e \theta.
c) Mostre que a energia potencial gravitacional pode ser escrita como
V(\theta)=-m g L \cos \theta
d) Obtenha a Lagrangiana do sistema, L=T-V.
e) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha a equação de movimento do sistema.

Passo 1

O enunciado pede, passo a passo, para trabalhar o pêndulo simples com comprimento L e massa m:
  • (a) escolher a coordenada generalizada \theta medida a partir da vertical e usar as relações dadas.
  • (b) escrever a energia cinética T=\dfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^2+\dot{y}^2\big) usando x=L\sin\theta e y=L\cos\theta.
  • (c) mostrar que a energia potencial gravitacional é V(\theta)=-m g L \cos\theta.
  • (d) obter a Lagrangiana \mathcal{L}=T-V.
  • (e) usar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas do corpo: \;x=L\sin\theta,\qquad y=L\cos\theta.
  • Energia cinética em termos de x,y: \;T=\dfrac{1}{2}m\big(\dot{x}^2+\dot{y}^2\big).
  • Constantes físicas: massa m, comprimento L, aceleração da gravidade g.
    Observação: \theta=\theta(t) é a coordenada generalizada (função do tempo); pontos acima serão usados nas contas.

Passo 2

(a) Coordenada escolhida: a coordenada generalizada é \theta (ângulo em relação à vertical). As relações geométricas já dadas são reapresentadas:
x=L\sin\theta,\qquad y=L\cos\theta.
Comentário didático curto: aqui \theta descreve a posição do pêndulo; ao variar \theta o ponto material se desloca ao longo de um arco de raio L.

Passo 3

Para escrever T em termos de \theta precisamos das velocidades \dot{x} e \dot{y}. Aplicamos a regra da cadeia (derivada temporal de uma função de \theta(t)):
Derivando x=L\sin\theta em relação ao tempo:
\dot{x} = \frac{d}{dt}(L\sin\theta)=L\cos\theta\;\dot{\theta}.
Derivando y=L\cos\theta em relação ao tempo:
\dot{y} = \frac{d}{dt}(L\cos\theta)=-L\sin\theta\;\dot{\theta}.
Explicação didática: a notação \dot{\theta} significa \dfrac{d\theta}{dt}. Usamos que \dfrac{d}{d\theta}\sin\theta=\cos\theta e \dfrac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta, depois multiplicamos por \dot{\theta} (regra da cadeia).

Passo 4

Agora substituímos \dot{x} e \dot{y} em T. Começamos escrevendo:
T=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}^2+\dot{y}^2\big) =\frac{1}{2}m\Big((L\cos\theta\;\dot{\theta})^2+(-L\sin\theta\;\dot{\theta})^2\Big).
Fatorando L^2\dot{\theta}^2:
T=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2\big(\cos^2\theta+\sin^2\theta\big).
Usando a identidade trigonométrica fundamental \cos^2\theta+\sin^2\theta=1, obtemos a forma simples:
T=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2.
Explicação didática: o resultado significa que a energia cinética depende apenas da velocidade angular \dot{\theta} e do momento de inércia efetivo mL^2 (para o ponto material a distância L do pivô).

Passo 5

(c) Energia potencial gravitacional. A energia potencial gravitacional pode ser escrita como V=m g h, onde h é a altura vertical medida a partir de uma referência escolhida. Aqui as coordenadas fornecidas usam y=L\cos\theta. Para fixar a convenção que leva ao enunciado, escolhemos a referência de potencial tal que V=-m g y (equivalente a tomar zero de potencial em algum ponto acima, ou interpretar y como coordenada para baixo); substituindo y:
V(\theta)=-m g y=-m g (L\cos\theta)=-m g L\cos\theta.
Comentário didático: a escolha do zero de energia potencial é arbitrária; o importante é a dependência funcional em \theta. A expressão pedida \;V(\theta)=-m g L\cos\theta\; corresponde à convenção adotada.

Passo 6

(d) Lagrangiana. Definimos a Lagrangiana do sistema por \mathcal{L}=T-V. Usando os resultados dos passos anteriores:
\mathcal{L}=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 - \big(-m g L\cos\theta\big).
Portanto:
\mathcal{L}(\theta,\dot{\theta})=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + m g L\cos\theta.
Explicação didática: a Lagrangiana reúne energia cinética e potencial; aqui aparece o termo \cos\theta que contém a dependência espacial responsável pela força restauradora do pêndulo.

Passo 7

(e) Equação de movimento pela equação de Euler–Lagrange. A equação de Euler–Lagrange para a coordenada generalizada \theta é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=0.
Calculamos as derivadas parciais:
Primeiro,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}=\frac{\partial}{\partial\dot{\theta}}\!\left(\tfrac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + m g L\cos\theta\right)=mL^2\dot{\theta},
pois o segundo termo não depende de \dot{\theta}.
Derivando no tempo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}}\right)=\frac{d}{dt}\big(mL^2\dot{\theta}\big)=mL^2\ddot{\theta}.
Agora a derivada parcial em relação a \theta:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\theta}=\frac{\partial}{\partial\theta}\!\left(\tfrac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + m g L\cos\theta\right) = m g L(-\sin\theta) = -m g L\sin\theta.
Substituindo na equação de Euler–Lagrange:
mL^2\ddot{\theta} - (-m g L\sin\theta)=0 \quad\Longrightarrow\quad mL^2\ddot{\theta} + m g L\sin\theta=0.
Dividindo por mL^2 (não zero):
\ddot{\theta} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0.
Interpretação física rápida: essa é a equação não linear do pêndulo simples. Para pequenas oscilações ( |\theta|\ll1 em radianos) usa-se a aproximação \sin\theta\approx\theta, obtendo o oscilador harmônico simples \ddot{\theta}+(g/L)\theta=0.

Resposta

(a) Coordenada generalizada: \theta com x=L\sin\theta,\;y=L\cos\theta.
(b) T=\dfrac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2.
(c) V(\theta)=-m g L\cos\theta.
(d) \displaystyle \mathcal{L}(\theta,\dot{\theta})=\frac{1}{2}mL^2\dot{\theta}^2 + m g L\cos\theta.
(e) Equação de movimento: \displaystyle \ddot{\theta}+\frac{g}{L}\sin\theta=0.

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