Considere uma partícula de massa m movendo-se sob a ação de um potencial V\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)
a) Sendo
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-V\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)
reescreva a Lagrangiana em coordenadas esféricas (r, \theta, \varphi) e identifique se trata de um potencial central. Para isso, utilize as relações
x=r \sin \theta \cos \varphi, \quad y=r \sin \theta \sin \varphi, \quad z=r \cos \theta
e demonstre que, nessas coordenadas, a Lagrangiana pode ser escrita como
L=\frac{1}{2} m\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\theta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \theta \dot{\varphi}^{2}\right)-V(r)
b) Identifique explicitamente os termos associados à energia cinética radial e angular.
c) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha as equações de movimento para r, \theta e \varphi.
d) A partir da equação de movimento para \varphi, mostre que o momento angular associado a essa coordenada é conservado.

Passo 1

O enunciado dá uma partícula de massa m com Lagrangiana em coordenadas cartesianas
L=\frac{1}{2}m\big(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\big)-V\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\big).
Também fornece as relações entre coordenadas cartesianas e esféricas:
x=r\sin\theta\cos\varphi,\quad y=r\sin\theta\sin\varphi,\quad z=r\cos\theta.
O que o problema pede:
a) Reescrever L em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) e dizer se é um potencial central.
b) Identificar os termos associados à energia cinética radial e angular.
c) Usar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento para r,\theta,\varphi.
d) A partir da equação para \varphi, mostrar que o momento angular associado a essa coordenada é conservado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: expressar \dot{x},\dot{y},\dot{z} em termos de \dot{r},\dot{\theta},\dot{\varphi}. Derivando temporalmente as relações x(r,\theta,\varphi), y(r,\theta,\varphi), z(r,\theta,\varphi) obtemos (cada derivada é via regra da cadeia):
\dot{x}=\dot{r}\sin\theta\cos\varphi + r\cos\theta\,\dot{\theta}\cos\varphi - r\sin\theta\,\dot{\varphi}\sin\varphi,
\dot{y}=\dot{r}\sin\theta\sin\varphi + r\cos\theta\,\dot{\theta}\sin\varphi + r\sin\theta\,\dot{\varphi}\cos\varphi,
\dot{z}=\dot{r}\cos\theta - r\sin\theta\,\dot{\theta}.
Vou explicar a origem de cada termo de forma direta: por exemplo, em \dot{x} aparece \dot{r}\sin\theta\cos\varphi porque x depende de r multiplicado por \sin\theta\cos\varphi; aparece r\cos\theta\,\dot{\theta}\cos\varphi porque ao variar \theta muda \sin\theta (derivada \cos\theta); e aparece -r\sin\theta\,\dot{\varphi}\sin\varphi porque ao variar \varphi muda \cos\varphi (derivada -\sin\varphi). O mesmo raciocínio vale para \dot{y} e \dot{z}.

Passo 3

Agora somamos os quadrados \dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}. Isso parece trabalhoso, mas muitos termos cruzados se cancelam. Faço a soma agrupando por fatores comuns:
  1. Termos com \dot{r}^{2}:
\dot{r}^{2}\big(\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + \sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + \cos^{2}\theta\big)=\dot{r}^{2}.
Porque \sin^{2}\theta(\cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi)+\cos^{2}\theta=1.
  1. Termos com \dot{\theta}^{2}:
r^{2}\dot{\theta}^{2}\big(\cos^{2}\theta\cos^{2}\varphi + \cos^{2}\theta\sin^{2}\varphi + \sin^{2}\theta\big)=r^{2}\dot{\theta}^{2}.
Novamente uso \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1 e \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1.
  1. Termos com \dot{\varphi}^{2}:
r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi\big)=r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}.
  1. Termos mistos \dot{r}\dot{\theta} e \dot{r}\dot{\varphi} e \dot{\theta}\dot{\varphi} aparecem, mas verificando cuidadosamente os coeficientes (usando as expressões de \dot{x},\dot{y},\dot{z}) esses termos mistos se cancelam dois a dois. Por exemplo, os cruzamentos \dot{r}\dot{\theta} vindos de \dot{x},\dot{y},\dot{z} somam zero; o mesmo acontece com \dot{r}\dot{\varphi} e \dot{\theta}\dot{\varphi}. Essa anulação é consequência da ortogonalidade da base esférica: os vetores unitários em direção radial, polar e azimutal são mutuamente ortogonais.
Portanto o resultado simples e clássico emerge:
\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}=\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}.

Passo 4

Substituindo essa expressão no termo cinético da Lagrangiana e lembrando que V depende de r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, obtemos exatamente
L=\frac{1}{2}m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big)-V(r).
Como V depende apenas de r (e não de \theta nem de \varphi), trata-se de um potencial central. Explicando em palavras: potencial central significa que a força resultante -\nabla V aponta para/contra o centro e tem módulo que depende só da distância radial r.

Passo 5

Identificar termos de energia cinética radial e angular:
  • Energia cinética radial: \displaystyle T_{r}=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}.
  • Energia cinética angular (associada ao movimento sobre a esfera de raio r): \displaystyle T_{\text{ang}}=\frac{1}{2}m r^{2}\big(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big).
Uma forma alternativa e útil de ver T_{\text{ang}} é em termos do momento angular total \mathbf{L}: o quadrado do momento angular vale
L^{2}=m^{2}r^{4}\big(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big),
logo
T_{\text{ang}}=\frac{L^{2}}{2m r^{2}}.
Isso mostra que a parte angular da energia cinética se comporta como uma “barreira centrífuga” efetiva \propto 1/r^{2}.

Passo 6

Agora aplico as equações de Euler–Lagrange. A Lagrangiana é
L=\frac{1}{2}m\dot{r}^{2}+\frac{1}{2}m r^{2}\dot{\theta}^{2}+\frac{1}{2}m r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}-V(r).
Para cada coordenada generalizada q\in\{r,\theta,\varphi\} vale
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q}=0.

Passo 7

Equação para r.
Calculo dos termos:
\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}=m\dot{r},\qquad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{r}}\right)=m\ddot{r}.
\frac{\partial L}{\partial r}=m r\dot{\theta}^{2}+m r\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}-V'(r),
onde V'(r)=\dfrac{dV}{dr}.
Aplicando Euler–Lagrange:
m\ddot{r}-\big(m r\dot{\theta}^{2}+m r\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}-V'(r)\big)=0.
Rearranjando:
m\ddot{r}=m r\big(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big)-V'(r).

Passo 8

Equação para \theta.
Calculo dos termos:
\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}=m r^{2}\dot{\theta},\qquad \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{\theta}}\right)=m\big(2r\dot{r}\dot{\theta}+r^{2}\ddot{\theta}\big).
\frac{\partial L}{\partial\theta}=\frac{1}{2}m r^{2}\cdot 2\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^{2}=m r^{2}\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^{2}.
Euler–Lagrange dá:
m\big(2r\dot{r}\dot{\theta}+r^{2}\ddot{\theta}\big)-m r^{2}\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^{2}=0.
Dividindo por m e organizando:
r^{2}\ddot{\theta}+2r\dot{r}\dot{\theta}-r^{2}\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^{2}=0.
Uma forma compacta é
\frac{d}{dt}\!\big(r^{2}\dot{\theta}\big)=r^{2}\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^{2}.

Passo 9

Equação para \varphi e conservação do momento angular associado.
Calculo:
\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}=m r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}.
Observa-se que \varphi não aparece explicitamente em L (L é independente de \varphi), portanto \partial L/\partial\varphi=0. Logo Euler–Lagrange fornece:
\frac{d}{dt}\!\big(m r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}\big)=0.
Isto significa que a quantidade
p_{\varphi}=m r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}
é uma constante do movimento (conservada). Essa quantidade é o momento angular projetado ao longo do eixo associado à coordenada \varphi (usualmente o componente L_{z} do momento angular, quando o sistema é orientado adequadamente). Em outras palavras, o momento angular azimutal p_{\varphi} permanece constante no tempo porque L não depende de \varphi.

Passo 10

Resumo físico e comentário encorajador: as equações obtidas mostram a separação entre dinâmica radial (afetada pelo potencial V(r) mais um termo centrífugo vindo da parte angular) e a conservação do momento angular azimutal. Isso é exatamente o comportamento esperado para um potencial central. Você já tem a Lagrangiana em esféricas, os termos cinéticos identificados, as equações de movimento e a constante de movimento p_{\varphi}. Vai dar certo na prova — pratique derivar \dot{x},\dot{y},\dot{z} mais uma vez para fixar!

Resposta

a) L=\dfrac{1}{2}m\big(\dot{r}^{2}+r^{2}\dot{\theta}^{2}+r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big)-V(r). É um potencial central, pois V depende apenas de r.
b) T_{r}=\dfrac{1}{2}m\dot{r}^{2}. \quad T_{\text{ang}}=\dfrac{1}{2}m r^{2}\big(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big).
c) Equações de movimento:
m\ddot{r}=m r\big(\dot{\theta}^{2}+\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}^{2}\big)-V'(r),
r^{2}\ddot{\theta}+2r\dot{r}\dot{\theta}-r^{2}\sin\theta\cos\theta\,\dot{\varphi}^{2}=0,
\frac{d}{dt}\!\big(m r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi}\big)=0.
d) O momento conjugado a \varphi é
p_{\varphi}=\;m r^{2}\sin^{2}\theta\,\dot{\varphi},
e é conservado (constante no tempo) porque \dfrac{d}{dt}p_{\varphi}=0.

Exercícios relacionados