Considere uma partícula de massa
movendo-se sob a ação de um potencial
a) Sendo
reescreva a Lagrangiana em coordenadas esféricas
e identifique se trata de um potencial central. Para isso, utilize as relações
e demonstre que, nessas coordenadas, a Lagrangiana pode ser escrita como
b) Identifique explicitamente os termos associados à energia cinética radial e angular.
c) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha as equações de movimento para
e
.
d) A partir da equação de movimento para
, mostre que o momento angular associado a essa coordenada é conservado.
a) Sendo
c) Utilizando a equação de Euler-Lagrange, obtenha as equações de movimento para
d) A partir da equação de movimento para
Passo 1
O enunciado dá uma partícula de massa
com Lagrangiana em coordenadas cartesianas
Também fornece as relações entre coordenadas cartesianas e esféricas:
O que o problema pede:
a) Reescrever em coordenadas esféricas
e dizer se é um potencial central.
b) Identificar os termos associados à energia cinética radial e angular.
c) Usar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento para .
d) A partir da equação para , mostrar que o momento angular associado a essa coordenada é conservado.
a) Reescrever
b) Identificar os termos associados à energia cinética radial e angular.
c) Usar as equações de Euler–Lagrange para obter as equações de movimento para
d) A partir da equação para
Passo 2
Primeiro passo técnico: expressar
em termos de
. Derivando temporalmente as relações
,
,
obtemos (cada derivada é via regra da cadeia):
Vou explicar a origem de cada termo de forma direta: por exemplo, em
aparece
porque
depende de
multiplicado por
; aparece
porque ao variar
muda
(derivada
); e aparece
porque ao variar
muda
(derivada
). O mesmo raciocínio vale para
e
.
Passo 3
Agora somamos os quadrados
. Isso parece trabalhoso, mas muitos termos cruzados se cancelam. Faço a soma agrupando por fatores comuns:
- Termos com
:
Porque
.
- Termos com
:
Novamente uso
e
.
- Termos com
:
- Termos mistos
e e aparecem, mas verificando cuidadosamente os coeficientes (usando as expressões de ) esses termos mistos se cancelam dois a dois. Por exemplo, os cruzamentos vindos de somam zero; o mesmo acontece com e . Essa anulação é consequência da ortogonalidade da base esférica: os vetores unitários em direção radial, polar e azimutal são mutuamente ortogonais.
Portanto o resultado simples e clássico emerge:
Passo 4
Substituindo essa expressão no termo cinético da Lagrangiana e lembrando que
depende de
, obtemos exatamente
Como
depende apenas de
(e não de
nem de
), trata-se de um potencial central. Explicando em palavras: potencial central significa que a força resultante
aponta para/contra o centro e tem módulo que depende só da distância radial
.
Passo 5
Identificar termos de energia cinética radial e angular:
- Energia cinética radial:
- Energia cinética angular (associada ao movimento sobre a esfera de raio
):
Uma forma alternativa e útil de ver
é em termos do momento angular total
: o quadrado do momento angular vale
logo
Isso mostra que a parte angular da energia cinética se comporta como uma “barreira centrífuga” efetiva
.
Passo 6
Agora aplico as equações de Euler–Lagrange. A Lagrangiana é
Para cada coordenada generalizada
vale
Passo 7
Equação para
.
Calculo dos termos:
onde
.
Aplicando Euler–Lagrange:
Rearranjando:
Passo 8
Equação para
.
Calculo dos termos:
Euler–Lagrange dá:
Dividindo por
e organizando:
Uma forma compacta é
Passo 9
Equação para
e conservação do momento angular associado.
Calculo:
Observa-se que
não aparece explicitamente em
(L é independente de
), portanto
. Logo Euler–Lagrange fornece:
Isto significa que a quantidade
é uma constante do movimento (conservada). Essa quantidade é o momento angular projetado ao longo do eixo associado à coordenada
(usualmente o componente
do momento angular, quando o sistema é orientado adequadamente). Em outras palavras, o momento angular azimutal
permanece constante no tempo porque
não depende de
.
Passo 10
Resumo físico e comentário encorajador: as equações obtidas mostram a separação entre dinâmica radial (afetada pelo potencial
mais um termo centrífugo vindo da parte angular) e a conservação do momento angular azimutal. Isso é exatamente o comportamento esperado para um potencial central. Você já tem a Lagrangiana em esféricas, os termos cinéticos identificados, as equações de movimento e a constante de movimento
. Vai dar certo na prova — pratique derivar
mais uma vez para fixar!
Resposta
a)
. É um potencial central, pois
depende apenas de
.
b)
. \quad
.
c) Equações de movimento:
d) O momento conjugado a
é
e é conservado (constante no tempo) porque
.