Considere uma massa m livre para se mover apenas na direção x e sujeita a um potencial dado por
V(x)=\frac{1}{2} k x^{2},
em que x é medido a partir da posição de equilíbrio.
a) Mostre, através de
F(x)=-\frac{d V}{d x}
que a força associada a esse potencial é do tipo elástica.
b) Escreva a energia cinética T do sistema e, em seguida, obtenha a Lagrangiana L=T-V.
c) Utilizando a equação de Euler-Lagrange,
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0,
obtenha a equação de movimento do sistema.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (resumindo e deixando claro o que deu e o que precisa ser encontrado):
  • Dado: uma massa m livre para mover-se só na direção x e sujeita ao potencial
V(x)=\frac{1}{2}k x^{2},
com x medido a partir da posição de equilíbrio.
  • Fórmula fornecida para usar na parte (a): F(x)=-\dfrac{dV}{dx}.
  • Fórmula fornecida para usar na parte (c): a equação de Euler–Lagrange
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que a força associada a esse potencial é do tipo elástica, usando F(x)=-\dfrac{dV}{dx}.
(b) Escrever a energia cinética T e obter a Lagrangiana L=T-V.
(c) Aplicar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento do sistema.

Passo 2

Parte (a): calcular a força a partir do potencial usando a definição dada.
Primeiro calculemos a derivada de V(x) em relação a x. A função é
V(x)=\frac{1}{2}k x^{2}.
Derivando, usando a regra do poder ( \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x) e a constante k:
\frac{dV}{dx}=\frac{1}{2}k\cdot 2x = kx.
Agora aplicamos a definição da força:
F(x)=-\frac{dV}{dx}=-kx.
Explicação didática: essa expressão é a forma clássica da força elástica (Lei de Hooke), onde a força é proporcional ao deslocamento x e tem sentido contrário (restauradora), ou seja, puxa a massa de volta para x=0. Por isso dizemos que a força é do tipo elástica.

Passo 3

Parte (b): escrever a energia cinética T e a Lagrangiana L.
Lembrete prático: a energia cinética de uma partícula de massa m com velocidade v é
T=\frac{1}{2}m v^{2}.
Como o movimento é unidimensional ao longo de x, a velocidade é v=\dot{x}=\dfrac{dx}{dt}. Substituindo:
T=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}.
A Lagrangiana é definida por
L=T-V.
Substituindo T e V:
L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k x^{2}.
Comentário útil para a prova: memorizar T=\tfrac{1}{2}m\dot{x}^{2} e L=T-V facilita montar a Lagrangiana rapidamente em problemas unidimensionais.

Passo 4

Parte (c): usar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.
Escrevemos a Lagrangiana novamente (para referência):
L=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\frac{1}{2}k x^{2}.
Calculamos primeiro \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}. Tratando x e \dot{x} como variáveis independentes, a derivada em relação a \dot{x} é:
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}.
Agora derivamos em relação ao tempo:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=\frac{d}{dt}(m\dot{x})=m\ddot{x},
onde \ddot{x}=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} é a aceleração.
Em seguida calculamos \dfrac{\partial L}{\partial x}. A única dependência explícita em x vem do termo -\tfrac{1}{2}k x^{2}, então:
\frac{\partial L}{\partial x}=-k x.
Agora colocamos esses resultados na equação de Euler–Lagrange:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0
\Longrightarrow\quad m\ddot{x}-(-k x)=0.
Isso simplifica para
m\ddot{x}+k x=0.
Explicação e interpretação: essa é a equação diferencial do oscilador harmônico simples. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A frequência angular natural é
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}},
e a solução geral da equação é
x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais (posição e velocidade iniciais).

Resposta

(a) F(x)=-kx
(b) T=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}, \;L=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^{2}-\dfrac{1}{2}k x^{2}
(c) m\ddot{x}+k x=0

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