Considere uma massa
livre para se mover apenas na direção
e sujeita a um potencial dado por
em que
é medido a partir da posição de equilíbrio.
a) Mostre, através de
que a força associada a esse potencial é do tipo elástica.
b) Escreva a energia cinética
do sistema e, em seguida, obtenha a Lagrangiana
.
c) Utilizando a equação de Euler-Lagrange,
obtenha a equação de movimento do sistema.
a) Mostre, através de
b) Escreva a energia cinética
c) Utilizando a equação de Euler-Lagrange,
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (resumindo e deixando claro o que deu e o que precisa ser encontrado):
- Dado: uma massa
livre para mover-se só na direção e sujeita ao potencial
com
medido a partir da posição de equilíbrio.
- Fórmula fornecida para usar na parte (a):
. - Fórmula fornecida para usar na parte (c): a equação de Euler–Lagrange
O que o enunciado pede:
(a) Mostrar que a força associada a esse potencial é do tipo elástica, usando .
(b) Escrever a energia cinética e obter a Lagrangiana
.
(c) Aplicar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento do sistema.
(a) Mostrar que a força associada a esse potencial é do tipo elástica, usando
(b) Escrever a energia cinética
(c) Aplicar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento do sistema.
Passo 2
Parte (a): calcular a força a partir do potencial usando a definição dada.
Primeiro calculemos a derivada de
em relação a
. A função é
Derivando, usando a regra do poder (
) e a constante
:
Agora aplicamos a definição da força:
Explicação didática: essa expressão é a forma clássica da força elástica (Lei de Hooke), onde a força é proporcional ao deslocamento
e tem sentido contrário (restauradora), ou seja, puxa a massa de volta para
. Por isso dizemos que a força é do tipo elástica.
Passo 3
Parte (b): escrever a energia cinética
e a Lagrangiana
.
Lembrete prático: a energia cinética de uma partícula de massa
com velocidade
é
Como o movimento é unidimensional ao longo de
, a velocidade é
. Substituindo:
A Lagrangiana é definida por
Substituindo
e
:
Comentário útil para a prova: memorizar
e
facilita montar a Lagrangiana rapidamente em problemas unidimensionais.
Passo 4
Parte (c): usar a equação de Euler–Lagrange para obter a equação de movimento.
Escrevemos a Lagrangiana novamente (para referência):
Calculamos primeiro
. Tratando
e
como variáveis independentes, a derivada em relação a
é:
Agora derivamos em relação ao tempo:
onde
é a aceleração.
Em seguida calculamos
. A única dependência explícita em
vem do termo
, então:
Agora colocamos esses resultados na equação de Euler–Lagrange:
Isso simplifica para
Explicação e interpretação: essa é a equação diferencial do oscilador harmônico simples. É uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A frequência angular natural é
e a solução geral da equação é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais (posição e velocidade iniciais).
Resposta
(a)
(b) ,
(c)
(b)
(c)