Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A cos (pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
a) Normalize a função de onda;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a função de onda é zero, ou seja, a partícula não pode estar fora desses limites. A função de onda dada é:
x á
O objetivo aqui é normalizar essa função de onda. Normalização significa ajustar o valor de $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em toda a região seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integral da densidade de probabilidade.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que a normalização requer que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é:
integral-infty^+infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Como $ \Psi(x, t) $ é zero fora de $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, a integral fica limitada a esse intervalo:
Psi(x, t)

Passo 3

Vamos simplificar o integrando. Sabemos que o módulo ao quadrado de uma função complexa $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $. Então, temos:
|e^-i E t / hbar|^2 = 1
Portanto, a equação fica:
|A cos(pi xa)|^2 = A^2 cos^2(pi xa)

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de $ \cos^2 $ em relação a $ x $. Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2
Aplicando isso na nossa integral:
x

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
A^2 ( 12 integral-a2^a2 dx + 12 integral-a2^a2 cos(2pi xa) dx ) = 1
A primeira integral é simplesmente o comprimento do intervalo:
integral-a2^a2 dx = a
A segunda integral, que envolve o cosseno, resulta em zero porque a função é ímpar em relação ao intervalo simétrico:
integral-a2^a2 cos(2pi xa) dx = 0
Então, a equação simplifica para:
A^2 ( a2 + 0 ) = 1 implies A^2 a2 = 1

Passo 6

Agora, resolvemos para $ A $:
A

Resposta

A constante de normalização é $ A = \sqrt{\dfrac{2}{a}} $.

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