Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora desta região. A função de onda da partícula é:
a) Normalize a função de onda;
a) Normalize a função de onda;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a função de onda é zero, ou seja, a partícula não pode estar fora desses limites. A função de onda dada é:
O objetivo aqui é normalizar essa função de onda. Normalização significa ajustar o valor de $ A $ de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em toda a região seja igual a 1. Para isso, vamos usar o conceito de integral da densidade de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que a normalização requer que a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço seja igual a 1. Matemáticamente, isso é:
Como $ \Psi(x, t) $ é zero fora de $ -\frac{a}{2} $ e $ \frac{a}{2} $, a integral fica limitada a esse intervalo:
Passo 3
Vamos simplificar o integrando. Sabemos que o módulo ao quadrado de uma função complexa $ |e^{-i E t / \hbar}|^2 = 1 $. Então, temos:
Portanto, a equação fica:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de $ \cos^2 $ em relação a $ x $. Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando isso na nossa integral:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é simplesmente o comprimento do intervalo:
A segunda integral, que envolve o cosseno, resulta em zero porque a função é ímpar em relação ao intervalo simétrico:
Então, a equação simplifica para:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ A $:
Resposta
A constante de normalização é $ A = \sqrt{\dfrac{2}{a}} $.