Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
)
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos uma partícula de massa
que se movimenta livremente ao longo do eixo
, mas só pode estar entre os pontos
e
. Fora dessa região, a partícula não pode ser encontrada. A função de onda
é dada por:
O que precisamos descobrir é o local mais provável de encontrar a partícula, ou seja, onde a densidade de probabilidade
é máxima. Para isso, vamos calcular onde a derivada de
em relação a
é igual a zero (
).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a densidade de probabilidade
. Em mecânica quântica,
é dada pelo quadrado da magnitude da função de onda:
No nosso caso, como
é real, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de onda dada na expressão da densidade de probabilidade:
Simplificando, temos:
Passo 4
Queremos encontrar o ponto onde
é máxima. Para isso, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Vamos calcular a derivada de
para
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Simplificando:
Passo 5
Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
,
, e
são constantes diferentes de zero, podemos simplificar a equação para:
Passo 6
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
Vamos resolver cada uma dessas equações.
Passo 7
Primeira equação:
Sabemos que o cosseno é zero para:
Resolvendo para
:
No intervalo
, os valores de
que satisfazem essa condição são
e
.
Passo 8
Segunda equação:
O seno é zero para:
Resolvendo para
:
No intervalo
, os valores de
que satisfazem essa condição são
,
e
.
Passo 9
Agora temos os seguintes pontos críticos dentro do intervalo:
Vamos avaliar qual desses pontos corresponde a um máximo da densidade de probabilidade
.
Passo 10
Para identificar onde
é máxima, observamos a função
.
Sabemos que o cosseno ao quadrado atinge seu valor máximo quando o cosseno é
. Portanto,
será máxima quando:
Isso ocorre quando:
Resolvendo para
:
Dentro do intervalo
, o único ponto que satisfaz essa condição é
.
Resposta
O local mais provável de se localizar a partícula é no ponto
.