Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
varphi(x)=A cos (3 pi xa) & -a / 2= a / 2
e) Qual é o local mais provável de se localizar a partícula? (calcule partial rhopartial x=0 )

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos uma partícula de massa m que se movimenta livremente ao longo do eixo x, mas só pode estar entre os pontos x = -a2 e x = a2. Fora dessa região, a partícula não pode ser encontrada. A função de onda varphi(x) é dada por:
varphi(x) = A cos (3 pi xa) & -a2 < x < a2 0 & caso contrário á
O que precisamos descobrir é o local mais provável de encontrar a partícula, ou seja, onde a densidade de probabilidade rho(x) é máxima. Para isso, vamos calcular onde a derivada de rho(x) em relação a x é igual a zero ( partial rhopartial x = 0).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a densidade de probabilidade rho(x). Em mecânica quântica, rho(x) é dada pelo quadrado da magnitude da função de onda:
rho(x) = |varphi(x)|^2
No nosso caso, como varphi(x) é real, podemos simplificar para:
rho(x) = varphi(x)^2

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda dada na expressão da densidade de probabilidade:
rho(x) = [A cos (3 pi xa)]^2 & -a2 < x < a2 0 & caso contrário á
Simplificando, temos:
rho(x) = A^2 cos^2 (3 pi xa) & -a2 < x < a2 0 & caso contrário á

Passo 4

Queremos encontrar o ponto onde rho(x) é máxima. Para isso, vamos derivar rho(x) em relação a x e igualar a zero:
partial rhopartial x = 0
Vamos calcular a derivada de rho(x) para -a2 < x < a2:
partial rhopartial x = ddx [A^2 cos^2 (3 pi xa)]
Usando a regra da cadeia, temos:
partial rhopartial x = 2A^2 cos (3 pi xa) cdot (-sin (3 pi xa) cdot 3 pia)
Simplificando:
partial rhopartial x = -6 pi A^2a cos (3 pi xa) sin (3 pi xa)

Passo 5

Igualando a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
-6 pi A^2a cos (3 pi xa) sin (3 pi xa) = 0
Como A, a, e pi são constantes diferentes de zero, podemos simplificar a equação para:
cos (3 pi xa) sin (3 pi xa) = 0

Passo 6

Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero:
  1. cos (3 pi xa) = 0
  2. sin (3 pi xa) = 0
Vamos resolver cada uma dessas equações.

Passo 7

Primeira equação:
cos (3 pi xa) = 0
Sabemos que o cosseno é zero para:
3 pi xa = pi2 + npi, n in Z
Resolvendo para x:
x = a6 + a n3, n in Z
No intervalo -a2 < x < a2, os valores de x que satisfazem essa condição são x = -a6 e x = a6.

Passo 8

Segunda equação:
sin (3 pi xa) = 0
O seno é zero para:
3 pi xa = npi, n in Z
Resolvendo para x:
x = a n3, n in Z
No intervalo -a2 < x < a2, os valores de x que satisfazem essa condição são x = -a3, x = 0 e x = a3.

Passo 9

Agora temos os seguintes pontos críticos dentro do intervalo:
  • x = -a6
  • x = a6
  • x = -a3
  • x = 0
  • x = a3
Vamos avaliar qual desses pontos corresponde a um máximo da densidade de probabilidade rho(x).

Passo 10

Para identificar onde rho(x) é máxima, observamos a função rho(x) = A^2 cos^2 (3 pi xa).
Sabemos que o cosseno ao quadrado atinge seu valor máximo quando o cosseno é pm 1. Portanto, rho(x) será máxima quando:
cos (3 pi xa) = pm 1
Isso ocorre quando:
3 pi xa = 0, pm 2pi, pm 4pi, ldots
Resolvendo para x:
x = 0, pm 2a3, pm 4a3, ldots
Dentro do intervalo -a2 < x < a2, o único ponto que satisfaz essa condição é x = 0.

Resposta

O local mais provável de se localizar a partícula é no ponto x = 0.

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