Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
? (calcule explicitamente)
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica onde uma partícula de massa $ m $ pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $, mas só entre $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode estar. A função de onda da partícula é dada por:
A gente precisa encontrar a probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade em funções de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar uma partícula em uma certa região é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nessa região. Ou seja,
No nosso caso, queremos a probabilidade de $ -\frac{a}{2} < x < 0 $, então:
Passo 3
Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. A função de onda é:
O módulo ao quadrado é:
Onde $ \Psi^* $ é o complexo conjugado de $ \Psi $. Como $ e^{-i E t / \hbar} $ tem módulo 1, temos:
Passo 4
Agora, substituímos na integral:
Para resolver essa integral, precisamos saber o valor de $ A $. Geralmente, $ A $ é a constante de normalização que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço permitido seja 1:
Então,
Passo 5
Vamos calcular essa integral para achar $ A $. Sabemos que:
Fazendo a substituição $ u = \frac{2 \pi x}{a} $, temos $ du = \frac{2 \pi}{a} dx $, ou $ dx = \frac{a}{2 \pi} du $. Assim:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 6
Voltando à condição de normalização:
Passo 7
Agora que temos $ A $, vamos substituir de volta na expressão da probabilidade:
Passo 8
Usando a mesma substituição de antes, $ u = \frac{2 \pi x}{a} $, $ dx = \frac{a}{2 \pi} du $. Assim:
Sabemos que:
Então,
Passo 9
Substituindo de volta:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é $ \frac{1}{2} $, ou 50%.