Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A sen(2 pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região -a / 2 ? (calcule explicitamente)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de mecânica quântica onde uma partícula de massa $ m $ pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $, mas só entre $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $. Fora dessa região, a partícula não pode estar. A função de onda da partícula é dada por:
m
A gente precisa encontrar a probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de probabilidade em funções de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a probabilidade de encontrar uma partícula em uma certa região é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nessa região. Ou seja,
P = integralx1^x2 |Psi(x, t)|^2 dx
No nosso caso, queremos a probabilidade de $ -\frac{a}{2} < x < 0 $, então:
-a2 < x < 0

Passo 3

Vamos calcular $ |\Psi(x, t)|^2 $. A função de onda é:
|Psi(x, t)|^2
O módulo ao quadrado é:
Psi(x, t) = A sin(2 pi xa) e^-i E t / hbar
Onde $ \Psi^* $ é o complexo conjugado de $ \Psi $. Como $ e^{-i E t / \hbar} $ tem módulo 1, temos:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) cdot Psi^*(x, t)

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
P = integral-a2^0 A^2 sin^2(2 pi xa) dx
Para resolver essa integral, precisamos saber o valor de $ A $. Geralmente, $ A $ é a constante de normalização que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço permitido seja 1:
A
Então,
A

Passo 5

Vamos calcular essa integral para achar $ A $. Sabemos que:
A
Fazendo a substituição $ u = \frac{2 \pi x}{a} $, temos $ du = \frac{2 \pi}{a} dx $, ou $ dx = \frac{a}{2 \pi} du $. Assim:
integral sin^2(u) du = u2 - sin(2u)4 + C
Calculando a integral:
u = 2 pi xa
Portanto:
du = 2 pia dx

Passo 6

Voltando à condição de normalização:
A^2 cdot a2 = 1 implies A^2 = 2a implies A = raiz2a

Passo 7

Agora que temos $ A $, vamos substituir de volta na expressão da probabilidade:
A

Passo 8

Usando a mesma substituição de antes, $ u = \frac{2 \pi x}{a} $, $ dx = \frac{a}{2 \pi} du $. Assim:
u = 2 pi xa
Sabemos que:
dx = a2 pi du
Então,
P = 2a cdot a2 pi integral- pi^0 sin^2(u) du = 1pi integral- pi^0 sin^2(u) du

Passo 9

Substituindo de volta:
P = 1pi cdot pi2 = 12

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é $ \frac{1}{2} $, ou 50%.

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