Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
Psi(x, t)=A sen(2 pi xa) e^-i E t / hbar & -a / 2= a / 2
c) Calcule De;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa m que pode se mover livremente ao longo do eixo x entre -a/2 e a/2, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda dela é dada por:
Psi(x, t) = A cdot sin(2 pi xa) e^-i E t / hbar & se -a2 < x < a2 0 & caso contrário á
A questão pede para calcular a incerteza no momento De, onde o operador de momento é p = -i hbar partialpartial x. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o valor esperado de p e de p^2, e depois aplicar a fórmula da incerteza: De.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado de Psi(x, t) sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
integral-infty^infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Como Psi(x, t) é zero fora de -a/2 e a/2, a integral fica:
integral-a/2^a/2 |A cdot sin(2 pi xa)|^2 dx = 1
Como |e^-i E t / hbar|^2 = 1, simplificamos para:
A^2 integral-a/2^a/2 sin^2(2 pi xa) dx = 1

Passo 3

Vamos resolver a integral:
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
Onde k = 2pia. Aplicando nos limites de -a/2 a a/2:
A^2 [ a2 - 0 ] = 1
Porque o termo com o seno cancela nos limites simétricos. Então:
A^2 cdot a2 = 1 implies A = raiz2a

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor esperado de p, que é lang<= p rang<= = integral Psi^*(x, t) p Psi(x, t) dx. Como Psi tem uma parte temporal que se cancela ao multiplicar pelo conjugado, podemos focar na parte espacial:
lang<= p rang<= = -i hbar integral-a/2^a/2 Psi^*(x) partial Psi(x)partial x dx
Substituindo Psi(x) = raiz2a sin(2 pi xa):
lang<= p rang<= = -i hbar cdot 2a integral-a/2^a/2 sin(2 pi xa) cdot partialpartial x sin(2 pi xa) dx

Passo 5

Calculando a derivada:
partialpartial x sin(2 pi xa) = 2 pia cos(2 pi xa)
Então:
lang<= p rang<= = -i hbar cdot 2a cdot 2 pia integral-a/2^a/2 sin(2 pi xa) cos(2 pi xa) dx
Usando a identidade trigonométrica 2 sin theta cos theta = sin 2theta:
lang<= p rang<= = -i hbar cdot 4 pia^2 cdot 12 integral-a/2^a/2 sin(4 pi xa) dx

Passo 6

Integrando:
integral sin(kx) dx = -cos(kx)k + C
Com k = 4pia:
lang<= p rang<= = -i hbar cdot 2 pia^2 [ -cos(4 pi xa)4 pia ]-a/2^a/2
Simplificando:
lang<= p rang<= = -i hbar cdot 2 pia^2 cdot ( -a4 pi ) [ cos(2pi) - cos(-2pi) ]
Como cos(2pi) = cos(-2pi) = 1:
lang<= p rang<= = -i hbar cdot 2 pia^2 cdot ( -a4 pi ) cdot (1 - 1) = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular lang<= p^2 rang<= = integral Psi^*(x) p^2 Psi(x) dx. Sabendo que p = -i hbar partialpartial x, temos:
p^2 = -hbar^2 partial^2partial x^2
Então:
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 integral-a/2^a/2 Psi^*(x) partial^2 Psi(x)partial x^2 dx
Substituindo Psi(x) = raiz2a sin(2 pi xa):
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 cdot 2a integral-a/2^a/2 sin(2 pi xa) cdot partial^2partial x^2 sin(2 pi xa) dx

Passo 8

Calculando a segunda derivada:
partial^2partial x^2 sin(2 pi xa) = -(2 pia)^2 sin(2 pi xa)
Então:
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 cdot 2a cdot ( -(2 pia)^2 ) integral-a/2^a/2 sin^2(2 pi xa) dx
Simplificando:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 cdot 8 pi^2a^3 integral-a/2^a/2 sin^2(2 pi xa) dx

Passo 9

Já sabemos que:
integral-a/2^a/2 sin^2(2 pi xa) dx = a2
Então:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 cdot 8 pi^2a^3 cdot a2 = hbar^2 cdot 4 pi^2a^2

Resposta

A incerteza no momento é De.

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