Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
c) Calcule
;
c) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula com massa
que pode se mover livremente ao longo do eixo
entre
e
, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda dela é dada por:
A questão pede para calcular a incerteza no momento
, onde o operador de momento é
. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como calcular o valor esperado de
e de
, e depois aplicar a fórmula da incerteza:
.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a integral do módulo ao quadrado de
sobre todo o espaço deve ser igual a 1:
Como
é zero fora de
e
, a integral fica:
Como
, simplificamos para:
Passo 3
Vamos resolver a integral:
Onde
. Aplicando nos limites de
a
:
Porque o termo com o seno cancela nos limites simétricos. Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor esperado de
, que é
. Como
tem uma parte temporal que se cancela ao multiplicar pelo conjugado, podemos focar na parte espacial:
Substituindo
:
Passo 5
Calculando a derivada:
Então:
Usando a identidade trigonométrica
:
Passo 6
Integrando:
Com
:
Simplificando:
Como
:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Sabendo que
, temos:
Então:
Substituindo
:
Passo 8
Calculando a segunda derivada:
Então:
Simplificando:
Passo 9
Já sabemos que:
Então:
Resposta
A incerteza no momento é
.