Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
varphi(x)=A cos (3 pi xa) & -a / 2= a / 2
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região -a / 2 ? (calcule explicitamente)

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula de massa $ m $ pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda da partícula é dada por:
m á
Queremos descobrir a probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de normalização da função de onda e cálculo de probabilidades na Mecânica Quântica.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço permitido deve ser igual a 1. Então, vamos calcular a constante $ A $ normalizando $ \varphi(x) $.
A condição de normalização é:
A
Substituindo $ \varphi(x) $:
varphi(x)

Passo 3

Vamos resolver a integral para encontrar $ A $. Lembre-se que $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $. Aplicando isso:
A
Simplificando:
cos^2(theta) = 1 + cos(2theta)2
Avaliar os limites de integração:
A^2 integral-a2^a2 1 + cos(6 pi xa)2 dx = 1
A^2 [ x2 + a12 pi sin(6 pi xa) ]-a2^a2 = 1

Passo 4

Agora que temos $ A $, podemos calcular a probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. A probabilidade $ P $ é dada por:
A
Substituindo $ A^2 = \frac{2}{a} $:
-a2 < x < 0
Usando novamente $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
P

Passo 5

Resolvendo a integral:
P = 1a [ x + a6 pi sin(6 pi xa) ]-a2^0
Avaliando nos limites:
Para $ x = 0 $:
x = 0
Para $ x = -\frac{a}{2} $:
0 + a6 pi sin(0) = 0
Então:
x = -a2

Resposta

A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é de 50%.

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