Considere uma partícula de massa
que pode se mover livremente sobre o eixo
entre os pontos
, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
? (calcule explicitamente)
f) Qual é a probabilidade de se encontrar a partícula na região
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Mecânica Quântica onde uma partícula de massa $ m $ pode se mover livremente ao longo do eixo $ x $ entre os pontos $ x = -\frac{a}{2} $ e $ x = \frac{a}{2} $, mas não pode estar fora dessa região. A função de onda da partícula é dada por:
Queremos descobrir a probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. Para isso, vamos usar conceitos de normalização da função de onda e cálculo de probabilidades na Mecânica Quântica.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço permitido deve ser igual a 1. Então, vamos calcular a constante $ A $ normalizando $ \varphi(x) $.
A condição de normalização é:
Substituindo $ \varphi(x) $:
Passo 3
Vamos resolver a integral para encontrar $ A $. Lembre-se que $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $. Aplicando isso:
Simplificando:
Avaliar os limites de integração:
Passo 4
Agora que temos $ A $, podemos calcular a probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $. A probabilidade $ P $ é dada por:
Substituindo $ A^2 = \frac{2}{a} $:
Usando novamente $ \cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $:
Passo 5
Resolvendo a integral:
Avaliando nos limites:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = -\frac{a}{2} $:
Então:
Resposta
A probabilidade de encontrar a partícula na região $ -\frac{a}{2} < x < 0 $ é de 50%.