Considere uma particula de massa m presa ao teto em um suporte fixo por meio de um fio ideal de comprimento d, formando um péndulo. Não há atrito entre o fio e o suporte. A partícula é solta a partir do repouso, com o fio esticado, a uma distancia d / 2 do teto: g é módulo da aceleração local da gravidade Qual é o módulo do momento angular da partícula? Qual ā o sustentacio do fio quando cla passa pelo ponto mais baixo da trajetória?
(a) L=m d \sqrt{g d}
(b) L=m d \sqrt{2 g d / 3}
(c) L=m d \sqrt{2 g d}
(d) L=m d \sqrt{g d / 2}
(e) L=0

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo simples de massa m preso por um fio ideal de comprimento d, sem atrito. A partícula é solta do repouso numa posição em que o fio forma um ângulo \varphi_0 com a vertical tal que a distância vertical até o teto é d/2. Pede-se o módulo do momento angular em torno do ponto de suspensão e a tensão no fio ao passar pelo ponto mais baixo. Usaremos conservação de energia para obter a velocidade no fundo e as leis de dinâmica para o momento angular e a tensão.

Passo 2

Como o fio tem comprimento d e a posição inicial está a uma altura d/2 abaixo do teto, a componente vertical do fio mede
d\cos\varphi_0 = \frac d2
Logo
\cos\varphi_0 = \frac12 \quad\Rightarrow\quad \varphi_0 = 60^\circ.
A queda vertical até o ponto mais baixo (fio totalmente vertical) é
h = d - d\cos\varphi_0 = d - \frac d2 = \frac d2.

Passo 3

Conservação de energia entre a posição inicial (repouso) e o ponto mais baixo:
m g h = \tfrac12 m v^2
\Rightarrow v = \sqrt{2g\,h} = \sqrt{2g\cdot\frac d2} = \sqrt{g\,d}.

Passo 4

No ponto mais baixo, o vetor velocidade é perpendicular ao raio r=d, de modo que o momento angular em relação ao pivô é
L = m\,v\,d = m\,d\,\sqrt{g\,d}.

Passo 5

Também no ponto mais baixo, na direção radial aplicamos
T - m g = m\frac{v^2}{d}
T = m g + m\frac{g\,d}{d} = 2\,m g.

Resposta

(a) L = m\,d\,\sqrt{g\,d}
T = 2\,m\,g

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