Encontre o centro de massa de uma casca hemisférica de densidade constante, raio interno r1 e raio externo r2.

Passo 1

Nesse exercício vamos achar o centro de massa de uma casca hemisférica (faixa entre duas semi-esferas) de densidade constante. Pela simetria, o centro de massa fica no eixo de revolução (eixo z). Precisamos só da coordenada zCM.

Passo 2

Começamos encontrando zCM de uma semiesfera maciça de raio R. Em coordenadas esféricas, o volume elementar é dV=r^2,sinvarphi,dr,dvarphi,dtheta e z=rcosvarphi. O centro de massa vale
zCM=1Vintegral z,dV
com o volume V=23pi R^3. Fazendo a separação das integrais:
integral0^2pidthetaintegral0^R r^3 drintegral0^pi/2sinvarphicosvarphi,dvarphi =2picdotR^44cdot12 =pi R^44
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zCM=123pi R^3cdotpi R^44=3R8

Passo 3

Para a casca, consideramos a semiesfera externa de raio r2 (massa M2=rhotfrac23pi r2^3, z2=tfrac3r28) menos a interna de raio r1 (massa M1=rhotfrac23pi r1^3, z1=tfrac3r18). Pelo princípio de superposição, a coordenada do centro de massa da casca é
z=M2 z2 - M1 z1M2 - M1

Passo 4

Substituindo:
M2 z2 - M1 z1=rho23pil(r2^3cdottfrac3r28-r1^3cdottfrac3r18r)=rhopir2^4-r1^44,
M2-M1=rho23pi(r2^3-r1^3) Dividindo e cancelando fatores comuns, obtemos
zCM=tfrac14tfrac23r2^4-r1^4r2^3-r1^3=38r2^4-r1^4r2^3-r1^3

Resposta

zCM=38,r2^4-r1^4r2^3-r1^3 ao longo do eixo de simetria.

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