Considere uma particula de massa 1,0 \mathrm{~kg} cuja velocidade é \vec{v}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k} e sua posição é \vec{\tau}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}. Sabendo que a massa da partícula é 1,0 kg qual o módulo do seu momento angular?
Escolha uma opção:
a. 7 \sqrt{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}
b. 9 \sqrt{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}
c. 5 \sqrt{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}
d. 3 \sqrt{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s}
e. Nenhuma das outras alternativas \sqrt{3} \mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Massa da partícula: m=1,0\\ \mathrm{kg}.
  • Velocidade: \vec{v}=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}.
  • Posição: \vec{\tau}=\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}.
O que se pede:
  • Calcular o módulo do momento angular da partícula (isto é, o valor de |\vec{L}|).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Momento linear (quantidade de movimento) é \vec{p}=m\vec{v}. Aqui \vec{p} tem unidades de \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}.
  • Momento angular em relação à origem é definido por \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}, onde \vec{r} é o vetor posição da partícula (aqui \vec{r}=\vec{\tau}).
  • O produto vetorial \times (cross product) entre \vec{a}=(a_x,a_y,a_z) e \vec{b}=(b_x,b_y,b_z) resulta no vetor
\vec{a}\times\vec{b}=\big(a_y b_z-a_z b_y,\;a_z b_x-a_x b_z,\;a_x b_y-a_y b_x\big).
Explicando: cada componente é a diferença de produtos cruzados de componentes; geometricamente o módulo |\vec{a}\times\vec{b}|=|a||b|\sin\theta, mas aqui é mais direto calcular pelas componentes.
  • O módulo do momento angular é |\vec{L}|=\sqrt{L_x^2+L_y^2+L_z^2}.

Passo 3

Calcular o momento linear \vec{p}=m\vec{v}.
Como m=1,0\\ \mathrm{kg}, temos
\vec{p}=1{,}0\,(2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k})=2\hat{i}-3\hat{j}+\hat{k}.

Passo 4

Escrever os vetores em componentes para aplicar o produto vetorial:
\vec{r}=(1,\,2,\,-3),\qquad \vec{p}=(2,\,-3,\,1).
Calcular \vec{L}=\vec{r}\times\vec{p} componente a componente usando a fórmula do Passo 2:
  • Componente x:
L_x = r_y p_z - r_z p_y = 2\cdot 1 - (-3)\cdot(-3) = 2 - 9 = -7.
  • Componente y:
L_y = r_z p_x - r_x p_z = (-3)\cdot 2 - 1\cdot 1 = -6 - 1 = -7.
  • Componente z:
L_z = r_x p_y - r_y p_x = 1\cdot(-3) - 2\cdot 2 = -3 - 4 = -7.
Logo,
\vec{L}=(-7,\,-7,\,-7).

Passo 5

Calcular o módulo de \vec{L}:
|\vec{L}|=\sqrt{(-7)^2+(-7)^2+(-7)^2}=\sqrt{49+49+49}=\sqrt{147}.
Simplificando,
\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot 3}=7\sqrt{3}.
Unidades: \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 6

Comparando com as alternativas dadas, o valor obtido 7\sqrt{3}\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2/\mathrm{s} corresponde à alternativa (a).

Resposta

a. 7\sqrt{3}\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}

Exercícios relacionados