( 1,50 pontos) Estude a seção 5.3 do Vol. 4 do Curso de Física Básica do autor Moysés Nussenzveig, Ed. Blüncher, 2014, e descreva em todos os detalhes as classificações básicas (linear, circular e elíptica) para a polarização de uma onda eletromagnética.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Descrever, em todos os detalhes, as classificações básicas de polarização de uma onda eletromagnética: polarização linear, polarização circular e polarização elíptica.
Informações e pressupostos que vou usar (padrões que aparecem no texto pedido):
  • Considerar uma onda plana monocromática propagando-se ao longo do eixo z.
  • A componente elétrica transverse pode ser escrita como duas componentes ortogonais x e y.
  • Usarei notação com amplitudes, fases, número de onda k e frequência angular \omega.
Nada mais é pedido explicitamente; a resolução explicará passo a passo as definições, as fórmulas, como obter a forma geométrica (reta, círculo, elipse), o sentido de rotação (mão direita / esquerda) e fórmulas úteis para ângulo de orientação e elipticidade.

Passo 2

Representação básica da onda elétrica e significado dos símbolos (a base para tudo)
  • Escrevemos as componentes transversas do campo elétrico de uma onda plana que se propaga em +z como
E_x(z,t)=A_x\cos\big(kz-\omega t+\delta_x\big),
E_y(z,t)=A_y\cos\big(kz-\omega t+\delta_y\big).
Explanação de cada símbolo:
  • A_x e A_y: amplitudes reais e não negativas das componentes x e y.
  • k: número de onda (relacionado ao comprimento de onda).
  • \omega: frequência angular.
  • \delta_x e \delta_y: fases iniciais das componentes.
  • z e t: posição e tempo, respectivamente.
Para simplificar a discussão geométrica (o traçado da ponta de \mathbf{E} no plano xy) fixamos z (por exemplo z=0) e observamos a variação de \mathbf{E}(t)=(E_x(t),E_y(t)) com o tempo. Definimos a diferença de fase
\delta \equiv \delta_y-\delta_x.
Então podemos escrever, tomando z=0,
E_x(t)=A_x\cos(\omega t+\varphi),\qquad E_y(t)=A_y\cos(\omega t+\varphi+\delta),
onde \varphi é apenas -\delta_x (um deslocamento de fase comum que não altera a geometria da trajetória).

Passo 3

Derivação da equação geral da trajetória (como obter a elipse)
Objetivo: eliminar o tempo t entre E_x(t) e E_y(t) para obter uma relação algébrica entre E_x e E_y.
Começamos com as formas simplificadas (tirando o deslocamento comum de fase), escrevendo
E_x=A_x\cos\theta,\qquad E_y=A_y\cos(\theta+\delta),
onde \theta\equiv\omega t+\varphi. Usaremos identidades trigonométricas. Primeiro expandir E_y:
E_y = A_y\big(\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta\big).
Agora dividimos por A_x e A_y quando conveniente e usamos \cos\theta = E_x/A_x. Para \sin\theta lembramos que \sin^2\theta=1-\cos^2\theta. Procedendo com cuidado e reagrupando termos (passos algébricos usuais), chega-se à forma quadrática
\left(\frac{E_x}{A_x}\right)^2 + \left(\frac{E_y}{A_y}\right)^2 - 2\frac{E_xE_y}{A_xA_y}\cos\delta = \sin^2\delta.
Comentários:
  • Esta é a equação geral de uma cônica no plano xy. Para 0<|\delta|<\pi em geral dá uma elipse. Para casos especiais (valores de \delta e razões A_x/A_y) reduz a reta ou o círculo — daí vêm os três tipos de polarização.

Passo 4

Polarização linear: condições e explicação física e matemática
Condição:
  • A polarização é linear se a ponta de \mathbf{E} descreve uma reta no plano xy.
  • Da equação geral, isso ocorre quando o lado direito é zero, ou seja \sin\delta=0, o que implica
\delta = m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Interpretação física:
  • \delta=0: as duas componentes oscilam em fase; o vetor \mathbf{E} aponta sempre na mesma direção (que pode ser um ângulo qualquer em relação a x).
  • \delta=\pi: as componentes oscilam em oposição de fase; também dá uma linha, possivelmente apontando na direção oposta em cada instante, mas ainda uma reta no plano.
Ângulo de polarização (direção da reta):
  • Se \delta=0, pode-se escrever E_y/E_x = A_y/A_x. Assim a reta faz o ângulo \varphi com o eixo x tal que
\tan\varphi = \frac{A_y}{A_x}.
  • Observação: se uma das amplitudes for zero ( A_x=0 ou A_y=0), tem-se polarização linear pura ao longo do eixo y ou x, respectivamente.
Exemplo rápido:
  • A_x=1,\\ A_y=1,\\ \delta=0 \tan\varphi=1 \varphi=45^\circ. A onda está linearmente polarizada a 45^\circ.

Passo 5

Polarização circular: condições, construção e sentido de rotação
Condições para circular perfeita:
  • Amplitudes iguais e diferença de fase \pm\pi/2:
A_x = A_y \equiv A,\qquad \delta = \pm \frac{\pi}{2} + 2m\pi.
Mostrando que dá um círculo:
  • Com A_x=A_y=A e \delta=\pm\pi/2, da relação entre E_x e E_y obtém-se
E_x^2+E_y^2 = A^2,
que é exatamente a equação de um círculo de raio A.
Sentido de rotação (mão direita/esquerda) — escolha de convenção e como ligar ao sinal de \delta:
  • Importante: existe ambiguidade de convenção na literatura (física vs. engenharia/óptica). Aqui adoto e explico uma convenção clara:
    • Observador situado na direção positiva de z (isto é, olhando na direção negativa de propagação, olhando “para a fonte”) — esta escolha é só para definir o que chamaremos de “direção de observação”.
    • Se para esse observador a ponta do vetor \mathbf{E} gira no sentido horário quando t aumenta, chamamos de polarização circular “direita” (RCP — right circularly polarized). Se girar no sentido anti-horário, chamamos de polarização circular “esquerda” (LCP).
  • Ligação com \delta: usando a forma E_x=A\cos\theta,\\ E_y=A\cos(\theta+\delta):
    • Para \delta=+\pi/2 obtemos E_x=A\cos\theta,\\ E_y=-A\sin\theta, que dessigna uma rotação no sentido horário para o observador na posição +z (convenção adotada aqui) → RCP.
    • Para \delta=-\pi/2 obtemos E_y=+A\sin\theta e a rotação é anti-horária → LCP.
  • Aviso prático: alguns autores trocam os nomes RCP/LCP pela escolha de quem olha na direção da propagação (em vez de olhar contra), por isso sempre declare a convenção quando resolver provas ou ler textos.

Passo 6

Polarização elíptica: caso geral, parâmetros que a descrevem e como obtê‑los
Definição:
  • Polarização elíptica é o caso geral: amplitudes arbitrárias A_x,A_y e diferença de fase arbitrária \delta. A ponta de \mathbf{E} descreve uma elipse no plano transverse.
Parâmetros úteis da elipse:
  • ângulo de orientação da elipse (eixo maior) \psi;
  • ângulo de elipticidade \chi (define a razão entre semi-eixos).
Fórmulas praticáveis (muito usadas em livros e provas):
\tan 2\psi = \frac{2A_xA_y\cos\delta}{A_x^2 - A_y^2},
\sin 2\chi = \frac{2A_xA_y\sin\delta}{A_x^2 + A_y^2}.
Interpretação:
  • \psi dá a orientação da elipse em relação ao eixo x.
  • \chi mede a “elipticidade”: \chi=0 corresponde a linha (degenerado em linear); |\chi|=45^\circ corresponde a círculo. A razão entre semi-eixo menor b e semi-eixo maior a é \tan\chi = b/a (assim |\tan\chi|=1 para círculo).
  • O sinal de \chi (ou equivalently o sinal de \sin2\chi) indica o sentido de rotação (mão direita/esquerda) segundo a convenção adotada; por exemplo \sin2\chi>0 pode corresponder a rotação no sentido que definimos como “direita”.
Como se obtêm essas fórmulas (esquema de derivação):
  • A equação quadrática obtida no Passo 3 tem um termo misto E_x E_y. Rotacionando o referencial no plano xy por um ângulo \psi é possível eliminar o termo misto (procedure de diagonalização de uma forma quadrática).
  • O ângulo \psi vem da condição de anular o coeficiente misto — daí surge a fórmula para \tan2\psi.
  • A relação para \chi decorre de comparar os coeficientes resultantes (após rotação) com as formas canônicas a^2\cos^2\alpha + b^2\sin^2\alpha= constante, e relacionar a assimetria com \sin\delta.

Passo 7

Exemplo numérico detalhado (aplico as fórmulas para fixar a intuição)
Escolha: A_x=2,\\ A_y=1,\\ \delta=\pi/3.
  1. Calcular \tan2\psi:
A_x^2-A_y^2 = 4-1=3,
2A_xA_y\cos\delta = 2\cdot2\cdot1\cdot\cos\frac{\pi}{3} = 4\cdot\frac{1}{2}=2.
Logo
\tan 2\psi = \frac{2}{3}.
Tomando arctan (em graus para intuição): 2\psi\approx 33{,}69^\circ, então \psi\approx 16{,}85^\circ. Isso significa que o eixo maior da elipse está inclinado cerca de 16{,}9^\circ em relação ao eixo x.
  1. Calcular \sin2\chi:
A_x^2 + A_y^2 = 4+1=5,
2A_xA_y\sin\delta = 4\cdot\sin\frac{\pi}{3} = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\approx 3{,}464.
Logo
\sin 2\chi = \frac{2\sqrt{3}}{5} \approx 0{,}6928.
Então 2\chi \approx 43{,}8^\circ, e \chi\approx 21{,}9^\circ. A razão entre semi-eixos é \tan\chi\approx\tan(21{,}9^\circ)\approx 0{,}402. Assim a elipse tem eixo menor aproximadamente 40{,}2\% do eixo maior. O sinal de \sin2\chi (positivo) indica o sentido de rotação segundo a convenção adotada no Passo 5.
Esse exemplo mostra passo a passo como, conhecendo A_x,A_y,\delta, encontra-se a inclinação e a forma da elipse.

Passo 8

Representações alternativas e conexões úteis (ferramentas práticas)
  1. Representação fasorial / vectorial (útil em problemas de síntese e óptica):
  • Pode-se usar vetores complexos (Jones vector)
\mathbf{\tilde{E}} = \begin{pmatrix}A_x e^{i\delta_x} \\\ A_y e^{i\delta_y}\end{pmatrix}.
Essa forma guarda amplitude e fase e é extremamente prática para manipular polarizadores lineares e retardadores em problemas de óptica polarizada.
  1. Parâmetros de Stokes (mais robustos para sinais incoerentes/medidos):
  • Em medições, costuma-se trabalhar com os parâmetros de Stokes S_0,S_1,S_2,S_3 que se relacionam com intensidades medidas e codificam linear/circular/oblíqua numa forma pronta para experimentos. Aqui apenas mencionar como conexão; para provas, às vezes pedem derivar S a partir de (A_x,A_y,\delta).
  1. Geração prática:
  • Polarização linear: filtros polarizadores (alinhados).
  • Circular: colocar retardador de retardância \lambda/4 após um polarizador linear com orientação apropriada.
  • Elíptica: combinação arbitrária de polarizador e retardador (ou amplitudes diferentes + fase qualquer).

Passo 9

Dicas práticas para a prova (como reconhecer rapidamente cada caso)
  • Escreva as componentes como A_x\cos(\omega t) e A_y\cos(\omega t+\delta) e identifique \delta e A_x/A_y.
  • Se \delta=0 ou \pi (módulo \pi) → linear. Calcule \tan\varphi=A_y/A_x para encontrar a direção.
  • Se A_x=A_y e |\delta|=\pi/2 → circular. Use o sinal de \delta para decidir o sentido, sempre declarando a convenção.
  • Caso geral → elíptica. Use as fórmulas para \psi e \chi apresentadas no Passo 6 para obter orientação e razão de eixos.
  • Sempre declare a convenção usada para sentido de rotação (quem olha de onde).

Passo 10

Resumo incentivador e comentário final
  • Concentre-se nas três quantidades essenciais: A_x, A_y e \delta. A partir delas se determina tudo.
  • Na prova: escreva claramente as três, aplique os testes rápidos (delta = 0/π, igualdade de amplitudes e delta = ±π/2) e, se necessário, aplique as fórmulas para \psi e \chi.
  • Você consegue! Se travar, volte ao trifecta A_x,A_y,\delta e trabalhe passo a passo.

Resposta

Linear: ocorre quando \delta=\delta_y-\delta_x=m\pi ( m\in\mathbb{Z}); a ponta de \mathbf{E} descreve uma reta; se \delta=0 a direção forma \tan\varphi=\dfrac{A_y}{A_x} com o eixo x.
Circular: ocorre quando A_x=A_y e \delta=\pm\dfrac{\pi}{2}+2m\pi; a ponta de \mathbf{E} descreve um círculo de raio A; o sinal de \delta determina o sentido de rotação (convenção de observador deve ser declarada).
Elíptica: caso geral A_x,A_y arbitrários e \delta arbitrário; a ponta de \mathbf{E} descreve uma elipse com orientação \psi e elipticidade \chi dadas por
\tan 2\psi=\frac{2A_xA_y\cos\delta}{A_x^2-A_y^2},\qquad \sin 2\chi=\frac{2A_xA_y\sin\delta}{A_x^2+A_y^2},
onde \tan\chi=b/a (razão dos semi-eixos). O sinal de \sin2\chi indica o sentido de rotação segundo a convenção adotada.

Exercícios relacionados