( 1,25 ponto) A partir das equações de Maxwell aplicadas à uma onda eletromagnética, que se propaga em um meio dielétrico transparente, obtenha as
equações de onda para as componentes E_{x}, E_{y}, B_{x} e B_{y} dos campos elétrico e de indução magnética que compõem esta onda. Mostre que suas velocidades são dadas pela relação:
v=\frac{c}{\sqrt{k}}
em que k é a constante dielétrica do meio.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • A partir das equações de Maxwell, obter as equações de onda para as componentes E_x, E_y, B_x e B_y de uma onda eletromagnética que se propaga em um meio dielétrico transparente.
  • Mostrar que a velocidade da onda é
v=\frac{c}{\sqrt{k}},
onde k é a constante dielétrica do meio.
Informações e hipóteses que vamos usar (tirei isto do contexto físico do enunciado: “meio dielétrico transparente”):
  • Não há cargas livres nem correntes livres no meio: \rho_{\text{free}}=0 e \mathbf{J}_{\text{free}}=0.
  • Meio linear, homogêneo e isotrópico (constantes \varepsilon e \mu independentes de posição).
  • Meio não condutor (sem condutividade elétrica), por isso nenhuma perda por corrente.
  • Relações constitutivas simples: \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e \mathbf{B}=\mu\mathbf{H}. A constante dielétrica relativa é k, de modo que \varepsilon=k\varepsilon_0. Para meios não magnéticos \mu=\mu_0 (caso geral pode manter \mu).
  • Objetivo final: escrever as equações de onda para cada componente E_x,E_y,B_x,B_y e obter a expressão da velocidade em termos de k.

Passo 2

Recordando as equações de Maxwell no meio (em unidades SI), nas condições acima:
\nabla\cdot\mathbf{D}=0,
\nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
Explicação curta e acessível:
  • \nabla\cdot\mathbf{D}=0 diz que não há carga elétrica livre no volume considerado.
  • \nabla\cdot\mathbf{B}=0 diz que não existem monopólos magnéticos.
  • \nabla\times\mathbf{E}=-\partial_t\mathbf{B} é a lei de Faraday: campo elétrico circulante gera variação do campo magnético.
  • \nabla\times\mathbf{H}=\partial_t\mathbf{D} é a equação de Ampère-Maxwell sem corrente livre: a variação do campo elétrico gera campo magnético.

Passo 3

Escrevendo as relações constitutivas e definindo constantes:
\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E},\qquad \varepsilon=k\varepsilon_0,
\mathbf{B}=\mu\mathbf{H},\qquad (\text{em muitos dielétricos comuns }\mu\approx\mu_0).é
Comentário prático: por ser meio “transparente” e não condutor, \varepsilon é (podemos considerar) real e independente do tempo; assim podemos trocar derivadas e constantes sem problemas.

Passo 4

Derivação da equação de onda para \mathbf{E} (passo chave).
  1. Começo aplicando o rotacional à equação de Faraday:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=-\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{B}).
  1. Usar a identidade vetorial importante:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E},
onde \nabla^2 é o operador Laplaciano atuando componente a componente. Vou explicar cada termo: \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) é o gradiente da divergência de \mathbf{E}; \nabla^2\mathbf{E} tem componentes \nabla^2 E_x,\nabla^2 E_y,\nabla^2 E_z.
3) Usar \nabla\cdot\mathbf{D}=0 e \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} com \varepsilon constante implica
\nabla\cdot\mathbf{E}=0,
logo \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})=\mathbf{0}. Isso simplifica a identidade para
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=-\nabla^2\mathbf{E}.
  1. Agora calcular \nabla\times\mathbf{B} usando \mathbf{B}=\mu\mathbf{H} e a equação de Ampère-Maxwell:
\nabla\times\mathbf{B}=\mu(\nabla\times\mathbf{H})=\mu\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}=\mu\varepsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.
  1. Substituir na equação do passo 1:
-\nabla^2\mathbf{E}=-\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\mu\varepsilon\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\bigr).
Como \mu e \varepsilon são constantes do meio, saem da derivada temporal:
\nabla^2\mathbf{E}=\mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.
  1. Reescrevendo no formato usual:
\nabla^2\mathbf{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}=\mathbf{0}.
Isto é uma equação de onda vetorial. Ela implica que cada componente cartesianamente satisfaz uma equação de onda escalar. Assim, explicitamente:
\nabla^2 E_x-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0,
\nabla^2 E_y-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0,
\nabla^2 E_z-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 E_z}{\partial t^2}=0.
Comentário didático: na prática de prova, depois desse passo você já pode afirmar que qualquer componente do campo elétrico satisfaz a eq. de onda com a mesma constante \mu\varepsilon.

Passo 5

Derivação da equação de onda para \mathbf{B}.
  1. Parto da equação de Ampère-Maxwell sem correntes livres:
\nabla\times\mathbf{H}=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}.
  1. Substituo \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu e \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}. Faço o rotacional em ambos os lados:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{H})=\nabla\times\left(\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right)=\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{D}).
  1. Como \mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E} e \varepsilon é constante,
\nabla\times\mathbf{D}=\varepsilon(\nabla\times\mathbf{E})=\varepsilon\left(-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right)=-\varepsilon\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Então
\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf{D})=-\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}.
  1. No lado esquerdo, usando \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu e a identidade vetorial:
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{H})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{H})-\nabla^2\mathbf{H}.
Mas \nabla\cdot\mathbf{H}=(1/\mu)\nabla\cdot\mathbf{B}=0, então \nabla\times(\nabla\times\mathbf{H})=-\nabla^2\mathbf{H}=-\frac{1}{\mu}\nabla^2\mathbf{B}.
5) Igualando os dois lados:
-\frac{1}{\mu}\nabla^2\mathbf{B}=-\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}.
Multiplicando por -\mu obtemos
\nabla^2\mathbf{B}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2}=\mathbf{0}.
  1. Portanto, cada componente também satisfaz a mesma equação de onda escalar:
\nabla^2 B_x-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0,
\nabla^2 B_y-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0,
\nabla^2 B_z-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 B_z}{\partial t^2}=0.

Passo 6

Interpretação e velocidade de propagação.
  • A equação escalar de onda no espaço 3D tem forma geral
\nabla^2 \psi - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=0,
onde v é a velocidade de propagação da onda. Comparando com as equações obtidas para \mathbf{E} e \mathbf{B}, identificamos
\frac{1}{v^2}=\mu\varepsilon\quad\Rightarrow\quad v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
  • Agora substituímos \varepsilon=k\varepsilon_0 e, para meios não magnéticos, \mu=\mu_0. Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é
c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}},
temos
v=\frac{1}{\sqrt{\mu_0(k\varepsilon_0)}}=\frac{1}{\sqrt{k}}\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=\frac{c}{\sqrt{k}}.
  • Comentário físico rápido: a constante dielétrica relativa k “retarda” a onda elétrica em relação ao vácuo em um fator \sqrt{k}. Em meios dispersivos ou magnéticos a expressão geral seria v=1/\sqrt{\mu\varepsilon}.

Passo 7

Exemplo concreto (para fixar a intuição):
  • Considere uma onda plana E_x(z,t)=E_0\cos(k_z z-\omega t). Aplicando a equação de onda escalar para E_x obtida em Passo 4 dá a relação de dispersão
\omega^2=\frac{1}{\mu\varepsilon}k_z^2,
logo a velocidade de fase \omega/k_z é v=1/\sqrt{\mu\varepsilon}, consistente com o que já mostramos. Isto é útil na prova: se aparecer uma solução do tipo seno/cosseno, basta substituir e comparar coeficientes para achar v.

Passo 8

Recapitulando de maneira prática para a prova (o que você pode escrever rapidamente):
  • As equações de onda para as componentes são
\nabla^2 E_x-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0,\qquad \nabla^2 E_y-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0,
\nabla^2 B_x-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0,\qquad \nabla^2 B_y-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0.
  • A velocidade de propagação é
v=\frac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}.
  • Substituindo \varepsilon=k\varepsilon_0 e \mu=\mu_0:
v=\frac{c}{\sqrt{k}}.

Resposta

\nabla^2 E_x-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}=0,\quad \nabla^2 E_y-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}=0,\quad \nabla^2 B_x-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}=0,\quad \nabla^2 B_y-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}=0
v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu\varepsilon}}=\dfrac{c}{\sqrt{k}}

Exercícios relacionados