( 1,25 ponto) A partir das equações de Maxwell aplicadas à uma onda eletromagnética, que se propaga em um meio dielétrico transparente, obtenha as
equações de onda para as componentes
e
dos campos elétrico e de indução magnética que compõem esta onda. Mostre que suas velocidades são dadas pela relação:
em que
é a constante dielétrica do meio.
equações de onda para as componentes
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A partir das equações de Maxwell, obter as equações de onda para as componentes
e de uma onda eletromagnética que se propaga em um meio dielétrico transparente. - Mostrar que a velocidade da onda é
onde
é a constante dielétrica do meio.
Informações e hipóteses que vamos usar (tirei isto do contexto físico do enunciado: “meio dielétrico transparente”):
- Não há cargas livres nem correntes livres no meio:
e . - Meio linear, homogêneo e isotrópico (constantes
e independentes de posição). - Meio não condutor (sem condutividade elétrica), por isso nenhuma perda por corrente.
- Relações constitutivas simples:
e . A constante dielétrica relativa é , de modo que . Para meios não magnéticos (caso geral pode manter ). - Objetivo final: escrever as equações de onda para cada componente
e obter a expressão da velocidade em termos de .
Passo 2
Recordando as equações de Maxwell no meio (em unidades SI), nas condições acima:
Explicação curta e acessível:
-
diz que não há carga elétrica livre no volume considerado. -
diz que não existem monopólos magnéticos. -
é a lei de Faraday: campo elétrico circulante gera variação do campo magnético. -
é a equação de Ampère-Maxwell sem corrente livre: a variação do campo elétrico gera campo magnético.
Passo 3
Escrevendo as relações constitutivas e definindo constantes:
Comentário prático: por ser meio “transparente” e não condutor,
é (podemos considerar) real e independente do tempo; assim podemos trocar derivadas e constantes sem problemas.
Passo 4
Derivação da equação de onda para
(passo chave).
- Começo aplicando o rotacional à equação de Faraday:
- Usar a identidade vetorial importante:
onde
é o operador Laplaciano atuando componente a componente. Vou explicar cada termo:
é o gradiente da divergência de
;
tem componentes
.
3) Usar e
com
constante implica
3) Usar
logo
. Isso simplifica a identidade para
- Agora calcular
usando e a equação de Ampère-Maxwell:
- Substituir na equação do passo 1:
Como
e
são constantes do meio, saem da derivada temporal:
- Reescrevendo no formato usual:
Isto é uma equação de onda vetorial. Ela implica que cada componente cartesianamente satisfaz uma equação de onda escalar. Assim, explicitamente:
Comentário didático: na prática de prova, depois desse passo você já pode afirmar que qualquer componente do campo elétrico satisfaz a eq. de onda com a mesma constante
.
Passo 5
Derivação da equação de onda para
.
- Parto da equação de Ampère-Maxwell sem correntes livres:
- Substituo
e . Faço o rotacional em ambos os lados:
- Como
e é constante,
Então
- No lado esquerdo, usando
e a identidade vetorial:
Mas
, então
.
5) Igualando os dois lados:
5) Igualando os dois lados:
Multiplicando por
obtemos
- Portanto, cada componente também satisfaz a mesma equação de onda escalar:
Passo 6
Interpretação e velocidade de propagação.
- A equação escalar de onda no espaço 3D tem forma geral
onde
é a velocidade de propagação da onda. Comparando com as equações obtidas para
e
, identificamos
- Agora substituímos
e, para meios não magnéticos, . Sabendo que a velocidade da luz no vácuo é
temos
- Comentário físico rápido: a constante dielétrica relativa
“retarda” a onda elétrica em relação ao vácuo em um fator . Em meios dispersivos ou magnéticos a expressão geral seria .
Passo 7
Exemplo concreto (para fixar a intuição):
- Considere uma onda plana
. Aplicando a equação de onda escalar para obtida em Passo 4 dá a relação de dispersão
logo a velocidade de fase
é
, consistente com o que já mostramos. Isto é útil na prova: se aparecer uma solução do tipo seno/cosseno, basta substituir e comparar coeficientes para achar
.
Passo 8
Recapitulando de maneira prática para a prova (o que você pode escrever rapidamente):
- As equações de onda para as componentes são
- A velocidade de propagação é
- Substituindo
e :