Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move sob a ação de uma força central dada por
, onde
é uma constante.
Verifique se a partícula pode apresentar uma órbita circular estável.
Verifique se a partícula pode apresentar uma órbita circular estável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa
e momento angular
que está se movendo sob a influência de uma força central
. Nosso objetivo é descobrir se essa partícula pode ter uma órbita circular estável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças centrípetas e estabilidade de órbitas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma órbita ser circular, a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória circular deve ser igual à força central que está agindo sobre ela. A força centrípeta é dada por:
Aqui,
é o momento angular,
é a massa da partícula e
é o raio da órbita.
Passo 3
A força central dada na questão é
. O sinal negativo indica que a força é atrativa. Para a órbita ser circular, temos que igualar as duas expressões:
Perceba que os
se cancelam em ambos os lados da equação.
Passo 4
Simplificando a equação:
Isso nos mostra que, para existir uma órbita circular, a relação entre o momento angular
, a massa
e a constante
deve satisfazer
.
Passo 5
Agora, para verificar a estabilidade da órbita, precisamos analisar se pequenas variações no raio
levariam a um retorno à órbita original ou se fariam a partícula se afastar. Isso envolve calcular a segunda derivada do potencial efetivo e verificar se ela é positiva.
O potencial efetivo
é dado por:
Passo 6
Calculando a primeira derivada de
em relação a
:
Igualando a zero para encontrar os pontos de equilíbrio:
Mas como
, isso implicaria
, o que não faz sentido porque
e
são positivos.
Passo 7
Isso significa que não existe um ponto onde a força centrípeta iguala a força central para
. Portanto, não há uma órbita circular estável para essa força central.
Resposta
Não, a partícula não pode apresentar uma órbita circular estável sob a força
com
.