Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move sob a ação de uma força central dada por F(r)=-k r^-3, onde k>0 é uma constante.
Verifique se a partícula pode apresentar uma órbita circular estável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa mu e momento angular l que está se movendo sob a influência de uma força central F(r) = -k r^-3. Nosso objetivo é descobrir se essa partícula pode ter uma órbita circular estável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de forças centrípetas e estabilidade de órbitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma órbita ser circular, a força centrípeta que mantém a partícula na trajetória circular deve ser igual à força central que está agindo sobre ela. A força centrípeta é dada por:
Fcentrípeta = l^2mu r^3 í
Aqui, l é o momento angular, mu é a massa da partícula e r é o raio da órbita.

Passo 3

A força central dada na questão é F(r) = -k r^-3. O sinal negativo indica que a força é atrativa. Para a órbita ser circular, temos que igualar as duas expressões:
l^2mu r^3 = kr^3
Perceba que os r^3 se cancelam em ambos os lados da equação.

Passo 4

Simplificando a equação:
l^2mu = k
Isso nos mostra que, para existir uma órbita circular, a relação entre o momento angular l, a massa mu e a constante k deve satisfazer l^2mu = k.

Passo 5

Agora, para verificar a estabilidade da órbita, precisamos analisar se pequenas variações no raio r levariam a um retorno à órbita original ou se fariam a partícula se afastar. Isso envolve calcular a segunda derivada do potencial efetivo e verificar se ela é positiva.
O potencial efetivo Veff(r) é dado por:
Veff(r) = l^22mu r^2 + k2 r^2

Passo 6

Calculando a primeira derivada de Veff(r) em relação a r:
dVeffdr = -l^2mu r^3 - kr^3
Igualando a zero para encontrar os pontos de equilíbrio:
-l^2mu r^3 - kr^3 = 0 Rightarrow l^2mu = -k
Mas como k > 0, isso implicaria l^2 = -mu k, o que não faz sentido porque l^2 e mu são positivos.

Passo 7

Isso significa que não existe um ponto onde a força centrípeta iguala a força central para k > 0. Portanto, não há uma órbita circular estável para essa força central.

Resposta

Não, a partícula não pode apresentar uma órbita circular estável sob a força F(r) = -k r^-3 com k > 0.

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