Considere uma partícula de massa mu e momento angular l que se move em uma trajetória descrita pela equação r(theta)=k theta^2, onde k é uma constante.
Determine a forma da força central F(r).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa mu e momento angular l que segue uma trajetória dada por r(theta) = k theta^2, onde k é uma constante. Nosso objetivo é descobrir qual é a força central F(r) que está agindo nessa partícula. Para isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica de movimentos em coordenadas polares, especialmente relacionados ao momento angular e às forças centrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em movimentos circulares ou curvilíneos, o momento angular l é dado por:
l = mu r^2 dottheta
Aqui, dottheta representa a derivada de theta em relação ao tempo, ou seja, a velocidade angular.

Passo 3

A força central F(r) está relacionada à aceleração radial da partícula. A equação do movimento na direção radial é:
F(r) = mu ( ddotr - r dottheta^2 )
Onde ddotr é a aceleração radial.

Passo 4

Agora, precisamos expressar r em função de theta e encontrar suas derivadas. Sabemos que:
r(theta) = k theta^2
Vamos derivar r em relação a theta:
drdtheta = 2k theta
E a segunda derivada:
d^2rdtheta^2 = 2k

Passo 5

Para conectar com o tempo, precisamos expressar dotr e ddotr em termos de theta. Sabemos que:
dotr = drdtheta cdot dottheta = 2k theta dottheta
E:
ddotr = ddt ( 2k theta dottheta ) = 2k ( dottheta^2 + theta ddottheta )

Passo 6

Agora, substituímos ddotr e r na equação da força:
F(r) = mu ( 2k ( dottheta^2 + theta ddottheta ) - k theta^2 dottheta^2 )

Passo 7

Sabemos que o momento angular l é constante, então:
l = mu r^2 dottheta = mu k^2 theta^4 dottheta
Podemos resolver para dottheta:
dottheta = lmu k^2 theta^4

Passo 8

Como l é constante, sua derivada em relação ao tempo é zero:
ddt(l) = 0 = mu ( 2r dotr dottheta + r^2 ddottheta )
Resolvendo para ddottheta:
ddottheta = -2 dotr dotthetar
Usando dotr = 2k theta dottheta e r = k theta^2:
ddottheta = -2 cdot 2k theta dottheta cdot dotthetak theta^2 = -4 dottheta^2theta

Passo 9

Substituindo ddottheta na expressão de F(r):
F(r) = mu ( 2k ( dottheta^2 - 4 dottheta^2theta cdot theta ) - k theta^2 dottheta^2 ) = mu ( 2k ( dottheta^2 - 4 dottheta^2 ) - k theta^2 dottheta^2 )
F(r) = mu ( 2k (-3 dottheta^2) - k theta^2 dottheta^2 ) = mu ( -6k dottheta^2 - k theta^2 dottheta^2 )
F(r) = -mu k dottheta^2 (6 + theta^2)

Passo 10

Agora, substituímos dottheta pela expressão encontrada no Passo 7:
F(r) = -mu k ( lmu k^2 theta^4 )^2 (6 + theta^2) = -mu k l^2mu^2 k^4 theta^8 (6 + theta^2)
Simplificando:
F(r) = -l^2mu k^3 theta^8 (6 + theta^2)

Passo 11

Como r = k theta^2, podemos expressar theta em função de r:
theta = raizrk
Substituindo na expressão de F(r):
F(r) = -l^2mu k^3 ( raizrk )^8 (6 + ( raizrk )^2 )
F(r) = -l^2mu k^3 ( rk )^4 (6 + rk ) = -l^2mu k^3 cdot k^4r^4 (6 + rk )
F(r) = -l^2 kmu r^4 (6 + rk ) = -6 l^2 kmu r^4 - l^2mu r^3

Resposta

A força central é dada por:
F(r) = -6 l^2 kmu r^4 - l^2mu r^3

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