Considere uma partícula de massa
e momento angular
que se move em uma trajetória descrita pela equação
, onde
é uma constante.
Determine a forma da força central
.
Determine a forma da força central
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma partícula com massa
e momento angular
que segue uma trajetória dada por
, onde
é uma constante. Nosso objetivo é descobrir qual é a força central
que está agindo nessa partícula. Para isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica de movimentos em coordenadas polares, especialmente relacionados ao momento angular e às forças centrais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em movimentos circulares ou curvilíneos, o momento angular
é dado por:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao tempo, ou seja, a velocidade angular.
Passo 3
A força central
está relacionada à aceleração radial da partícula. A equação do movimento na direção radial é:
Onde
é a aceleração radial.
Passo 4
Agora, precisamos expressar
em função de
e encontrar suas derivadas. Sabemos que:
Vamos derivar
em relação a
:
E a segunda derivada:
Passo 5
Para conectar com o tempo, precisamos expressar
e
em termos de
. Sabemos que:
E:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na equação da força:
Passo 7
Sabemos que o momento angular
é constante, então:
Podemos resolver para
:
Passo 8
Como
é constante, sua derivada em relação ao tempo é zero:
Resolvendo para
:
Usando
e
:
Passo 9
Substituindo
na expressão de
:
Passo 10
Agora, substituímos
pela expressão encontrada no Passo 7:
Simplificando:
Passo 11
Como
, podemos expressar
em função de
:
Substituindo na expressão de
:
Resposta
A força central é dada por: