Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= \pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
\begin{cases}\Psi(x, t)=A \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-i E t / \hbar} & 0<x<a \\\\ 0 & x \leq 0 \text { ou } x \geq a\end{cases}
(a) Normalize a função de onda;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
  • A função de onda dada é, para 0<x<a:
\Psi(x,t)=A\,\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)e^{-iEt/\hbar}.
  • Para x\le 0 ou x\ge a temos \Psi(x,t)=0.
  • A constante A é desconhecida e deve ser determinada por normalização.
  • O enunciado pede: (a) normalizar a função de onda — ou seja, encontrar A tal que a probabilidade total de encontrar a partícula em toda a reta seja 1.

Passo 2

O que significa normalizar a função de onda? Explicação didática e montagem da equação.
  • Física/ideia: a função \Psi(x,t) dá amplitudes de probabilidade; a densidade de probabilidade é |\Psi(x,t)|^2. Normalizar significa:
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1.
  • Observação importante: o fator de tempo e^{-iEt/\hbar} tem módulo 1. Isso porque para qualquer número real \theta tem-se |e^{i\theta}|=1. Então |e^{-iEt/\hbar}|^2=1. Portanto a normalização não depende do tempo — basta normalizar a parte espacial.
  • Como \Psi(x,t)=0 fora do intervalo 0<x<a, a integral sobre toda a reta reduz-se a integral de 0 a a:
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi|^2 dx = \int_{0}^{a} |A|^2 \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = 1.

Passo 3

Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx. Vou explicar a técnica passo a passo.
  • Usar a identidade trigonométrica que simplifica integrais de \sin^2:
\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
  • Aplicando com \theta=\dfrac{\pi x}{a} obtemos
\sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)=\frac{1-\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)}{2}.
  • Substituindo na integral:
\int_{0}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \int_{0}^{a} \frac{1-\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{a} dx \;-\; \frac{1}{2}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\,dx.
  • Calcular os dois termos separadamente:
    • \displaystyle \frac{1}{2}\int_{0}^{a} dx = \frac{1}{2}\,[x]_{0}^{a} = \frac{a}{2}.
    • Para o cosseno, fazer primitiva direta (ou substituição): uma primitiva de \cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right) é \dfrac{a}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right). Então
    \int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\,dx = \left.\frac{a}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right)\right|_{0}^{a} = \frac{a}{2\pi}\big(\sin(2\pi)-\sin(0)\big)=0.(porque \sin(2\pi)=\sin(0)=0.)
  • Portanto a integral total é
\int_{0}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = \frac{a}{2}.

Passo 4

Voltar à condição de normalização e resolver para A.
  • Substituindo o resultado da integral na equação de normalização:
|A|^2 \int_{0}^{a} \sin^2\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)\,dx = |A|^2\cdot\frac{a}{2} = 1.
  • Isolando |A|^2:
|A|^2 = \frac{2}{a}.
  • Assim o módulo de A é \sqrt{2/a}. A constante A pode ter uma fase complexa global e^{i\varphi} sem afetar a normalização, então a forma mais comum (escolhendo fase zero) é tomar A real e positiva:
A = \sqrt{\frac{2}{a}}.

Passo 5

Escrever a função de onda normalizada final e comentar como usar isso na prova.
  • A função de onda normalizada (escolhendo A real positivo) é, para 0<x<a:
\Psi_{\text{norm}}(x,t)=\sqrt{\frac{2}{a}}\;\sin\!\left(\frac{\pi x}{a}\right)e^{-iEt/\hbar},
e \Psi_{\text{norm}}(x,t)=0 fora do intervalo.
  • Comentário prático para a prova: sempre verifique se a parte temporal tem módulo 1 (caso exponencial complexo puro), reduza a integral a região onde a função não é nula, use a identidade \sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2 para integrar senos ao quadrado; termine resolvendo |A|^2 e escolha a fase conveniente (normalmente A>0).

Resposta

\Psi_{\text{norm}}(x,t)= \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{a}}\;\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{a}\right)e^{-iEt/\hbar}, & 0<x<a,\\[6pt] 0, & x\le 0\\ \text{ou}\\ x\ge a. \end{cases}]

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