Considere uma partícula de massa m que pode se mover livremente sobre o eixo x entre os pontos x= \pm a / 2, mas está estritamente proibida de ser encontrada fora nesta região. A função de onda da partícula é:
\begin{cases}\Psi(x, t)=A \operatorname{sen}\left(\frac{\pi x}{a}\right) e^{-i E t / \hbar} & 0<x<a \\\\ 0 & x \leq 0 \text { ou } x \geq a\end{cases}
(a) Normalize a função de onda;
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver nada ainda).
A constante A é desconhecida e deve ser determinada por normalização.
O enunciado pede: (a) normalizar a função de onda — ou seja, encontrar A tal que a probabilidade total de encontrar a partícula em toda a reta seja 1.
Passo 2
O que significa normalizar a função de onda? Explicação didática e montagem da equação.
Física/ideia: a função \Psi(x,t) dá amplitudes de probabilidade; a densidade de probabilidade é |\Psi(x,t)|^2. Normalizar significa:
\int_{-\infty}^{\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx = 1.
Observação importante: o fator de tempo e^{-iEt/\hbar} tem módulo 1. Isso porque para qualquer número real \theta tem-se |e^{i\theta}|=1. Então |e^{-iEt/\hbar}|^2=1. Portanto a normalização não depende do tempo — basta normalizar a parte espacial.
Como \Psi(x,t)=0 fora do intervalo 0<x<a, a integral sobre toda a reta reduz-se a integral de 0 a a:
Para o cosseno, fazer primitiva direta (ou substituição): uma primitiva de \cos\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right) é \dfrac{a}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{a}\right). Então
Assim o módulo de A é \sqrt{2/a}. A constante A pode ter uma fase complexa global e^{i\varphi} sem afetar a normalização, então a forma mais comum (escolhendo fase zero) é tomar A real e positiva:
A = \sqrt{\frac{2}{a}}.
Passo 5
Escrever a função de onda normalizada final e comentar como usar isso na prova.
A função de onda normalizada (escolhendo A real positivo) é, para 0<x<a:
Comentário prático para a prova: sempre verifique se a parte temporal tem módulo 1 (caso exponencial complexo puro), reduza a integral a região onde a função não é nula, use a identidade \sin^2\theta=(1-\cos2\theta)/2 para integrar senos ao quadrado; termine resolvendo |A|^2 e escolha a fase conveniente (normalmente A>0).