Se trocássemos a esfera por um cilindro maciço de raio
, qual o valor da velocidade no final da rampa se o cilindro fosse lançado de uma altura
a partir da base reta da rampa? (considere
)
Passo 1
O enunciado dá um cilindro maciço de massa
e raio
com momento de inércia
. O cilindro é lançado do topo de uma rampa de forma que sua base (ponto inicial) está a uma altura
acima da base reta da rampa. A energia potencial inicial é dada como
. A pergunta é: qual é a velocidade do cilindro quando ele chega ao final da rampa (na base), assumindo o cenário descrito?
Informações relevantes fornecidas:
-
. - Energia potencial inicial
. - Queremos a velocidade linear
do centro de massa ao atingir a base da rampa. - Pressuposição física implícita: o cilindro rola sem deslizar (pure rolling) ao descer.
Passo 2
Explicando a ideia física que vamos usar (sem ainda resolver): quando o cilindro desce, a energia potencial
é convertida em energia cinética de duas formas: energia cinética de translação do centro de massa e energia cinética de rotação em torno do centro. Em fórmulas:
onde
Aqui
é a velocidade do centro de massa e
é a velocidade angular do cilindro. Além disso, para rolamento sem deslizamento vale a condição de contato:
Um ponto importante e que costuma deixar dúvidas: a força de atrito estático que faz o cilindro rolar não realiza trabalho (instantaneamente o ponto de contato está em repouso), então não há perda de energia por atrito — portanto podemos aplicar conservação da energia mecânica simples.
Passo 3
Escrever a conservação de energia entre o topo (altura
) e a base:
Agora substituímos a relação de rolamento sem deslizamento
para eliminar
:
Nesta equação, todas as quantidades são claras:
massa,
aceleração da gravidade,
altura,
velocidade que queremos,
momento de inércia dado.
Passo 4
Substituir o momento de inércia do cilindro
na equação:
Simplificar o segundo termo: dentro do produto aparece
que cancela com o denominador
:
Portanto a energia total cinética final é:
Passo 5
Agora igualamos à energia potencial inicial e resolvemos para
:
Cancelamos
(assumindo
) e isolamos
:
Tomando raiz quadrada (velocidade positiva para descida):
Passo 6
Interpretação e comparação rápida (ajuda para fixar a ideia): se o corpo escorresse sem rolar (sem rotação), a velocidade seria
— maior do que no caso de rolamento porque toda a energia viraria apenas energia de translação. Para um cilindro maciço parte da energia vai para rotação, reduzindo a velocidade de translação. Para referência, um corpo esférico sólido (com
) teria
, que é diferente do caso cilíndrico. Exemplo numérico rápido: para
e
,
Você está indo bem — entender esses passos te deixa preparado para qualquer variação (outro
, outra forma geométrica, etc.).