Se trocássemos a esfera por um cilindro maciço de raio R\left(I_{\text {ellindro }}=\frac{1}{2} m R^{2}\right), qual o valor da velocidade no final da rampa se o cilindro fosse lançado de uma altura h a partir da base reta da rampa? (considere U=m g h )

Passo 1

O enunciado dá um cilindro maciço de massa m e raio R com momento de inércia I_{\text{cilindro}}=\tfrac{1}{2}mR^{2}. O cilindro é lançado do topo de uma rampa de forma que sua base (ponto inicial) está a uma altura h acima da base reta da rampa. A energia potencial inicial é dada como U=m g h. A pergunta é: qual é a velocidade do cilindro quando ele chega ao final da rampa (na base), assumindo o cenário descrito?
Informações relevantes fornecidas:
  • I_{\text{cilindro}}=\dfrac{1}{2}mR^{2}.
  • Energia potencial inicial U=m g h.
  • Queremos a velocidade linear v do centro de massa ao atingir a base da rampa.
  • Pressuposição física implícita: o cilindro rola sem deslizar (pure rolling) ao descer.

Passo 2

Explicando a ideia física que vamos usar (sem ainda resolver): quando o cilindro desce, a energia potencial m g h é convertida em energia cinética de duas formas: energia cinética de translação do centro de massa e energia cinética de rotação em torno do centro. Em fórmulas:
\text{energia final} = \text{energia trans.} + \text{energia rot.}
onde
\text{energia trans.}=\tfrac{1}{2}m v^{2}, \qquad \text{energia rot.}=\tfrac{1}{2}I\,\omega^{2}.
Aqui v é a velocidade do centro de massa e \omega é a velocidade angular do cilindro. Além disso, para rolamento sem deslizamento vale a condição de contato:
v=\omega R.
Um ponto importante e que costuma deixar dúvidas: a força de atrito estático que faz o cilindro rolar não realiza trabalho (instantaneamente o ponto de contato está em repouso), então não há perda de energia por atrito — portanto podemos aplicar conservação da energia mecânica simples.

Passo 3

Escrever a conservação de energia entre o topo (altura h) e a base:
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{2}I\,\omega^{2}.
Agora substituímos a relação de rolamento sem deslizamento \omega=\dfrac{v}{R} para eliminar \omega:
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{2}I\!\left(\dfrac{v}{R}\right)^{2}.
Nesta equação, todas as quantidades são claras: m massa, g aceleração da gravidade, h altura, v velocidade que queremos, I momento de inércia dado.

Passo 4

Substituir o momento de inércia do cilindro I=\dfrac{1}{2}mR^{2} na equação:
m g h = \tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}mR^{2}\right)\!\left(\dfrac{v^{2}}{R^{2}}\right).
Simplificar o segundo termo: dentro do produto aparece R^{2} que cancela com o denominador R^{2}:
\tfrac{1}{2}\left(\tfrac{1}{2}mR^{2}\right)\!\left(\dfrac{v^{2}}{R^{2}}\right) = \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}m\,v^{2} = \tfrac{1}{4}m v^{2}.
Portanto a energia total cinética final é:
\tfrac{1}{2}m v^{2} + \tfrac{1}{4}m v^{2} = \tfrac{3}{4}m v^{2}.

Passo 5

Agora igualamos à energia potencial inicial e resolvemos para v:
m g h = \tfrac{3}{4}m v^{2}.
Cancelamos m (assumindo m\neq0) e isolamos v^{2}:
g h = \tfrac{3}{4} v^{2} \quad\Rightarrow\quad v^{2} = \dfrac{4}{3} g h.
Tomando raiz quadrada (velocidade positiva para descida):
v=\sqrt{\dfrac{4}{3} g h}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{g h}.

Passo 6

Interpretação e comparação rápida (ajuda para fixar a ideia): se o corpo escorresse sem rolar (sem rotação), a velocidade seria v=\sqrt{2 g h} — maior do que no caso de rolamento porque toda a energia viraria apenas energia de translação. Para um cilindro maciço parte da energia vai para rotação, reduzindo a velocidade de translação. Para referência, um corpo esférico sólido (com I=\tfrac{2}{5}mR^{2}) teria v=\sqrt{\tfrac{10}{7} g h}, que é diferente do caso cilíndrico. Exemplo numérico rápido: para h=1\\ \text{m} e g=9{,}81\\ \text{m/s}^{2},
v=\sqrt{\dfrac{4}{3}\cdot 9{,}81}\approx 3{,}62\\ \text{m/s}.
Você está indo bem — entender esses passos te deixa preparado para qualquer variação (outro I, outra forma geométrica, etc.).

Resposta

\displaystyle v=\sqrt{\dfrac{4}{3}\,g h}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{g h}

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