Considere uma partícula se movendo no plano xy com uma aceleração constante. Escreva o vetor posição da partícula em termos dos vetores unitários. Use o fato de que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição, e o fato de que o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade, para escrever o vetor velocidade e o vetor aceleração em termos dos vetores unitários.

Passo 1

O enunciado pede para representar a trajetória de uma partícula no plano xy sujeita a uma aceleração constante, escrevendo o vetor posição em função do tempo e, em seguida, usando \displaystyle \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}
e \displaystyle \mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}
para obter a velocidade e a aceleração em termos dos vetores unitários \hat i e \hat j.

Passo 2

Chamando \displaystyle \mathbf{r}(t)=x(t)\,\hat i + y(t)\,\hat j,
temos por definição \displaystyle \mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}=\dot x(t)\,\hat i + \dot y(t)\,\hat j
e \displaystyle \mathbf{a}(t)=\frac{d\mathbf{v}(t)}{dt}=\ddot x(t)\,\hat i + \ddot y(t)\,\hat j.
Como a aceleração é constante no plano, existe um vetor constante \displaystyle \mathbf{a}=a_x\,\hat i + a_y\,\hat j
tal que \displaystyle \ddot x(t)=a_x e \displaystyle \ddot y(t)=a_y.

Passo 3

Integrando a componente da aceleração em relação a t, obtemos as componentes da velocidade. Se \mathbf{v}(0)=\mathbf{v}_0=v_{0x}\,\hat i+v_{0y}\,\hat j, então
v_x(t)=v_{0x}+a_x\,t, \quad v_y(t)=v_{0y}+a_y\,t.
Logo
\mathbf{v}(t)=\bigl(v_{0x}+a_x\,t\bigr)\,\hat i + \bigl(v_{0y}+a_y\,t\bigr)\,\hat j.

Passo 4

Agora integramos \mathbf{v}(t) para obter \mathbf{r}(t). Se \mathbf{r}(0)=\mathbf{r}_0=x_0\,\hat i+y_0\,\hat j, então
x(t)=x_0 + v_{0x}\,t + \tfrac12\,a_x\,t^2, \quad y(t)=y_0 + v_{0y}\,t + \tfrac12\,a_y\,t^2.
Portanto
\mathbf{r}(t) = \bigl(x_0 + v_{0x}\,t + \tfrac12\,a_x\,t^2\bigr)\,\hat i + \bigl(y_0 + v_{0y}\,t + \tfrac12\,a_y\,t^2\bigr)\,\hat j.

Resposta

\mathbf{r}(t) = \bigl(x_0 + v_{0x}\,t + \tfrac12\,a_x\,t^2\bigr)\,\hat i + \bigl(y_0 + v_{0y}\,t + \tfrac12\,a_y\,t^2\bigr)\,\hat j,
\mathbf{v}(t) = \bigl(v_{0x} + a_x\,t\bigr)\,\hat i + \bigl(v_{0y} + a_y\,t\bigr)\,\hat j,
\mathbf{a}(t) = a_x\,\hat i + a_y\,\hat j.

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