Muitas proteínas possuem anéis porfirínicos em sua estrutura:
NHNNN
Essa estrutura é planar, o que permite que os elétrons do sistema \pi deslocado sejam aproximados para partículas em uma caixa. Se aproximarmos essa molécula para um quadrado de comprimento 1000 pm , preveja a excitação eletrônica de menor energia, em número de onda ( \bar{v}, \mathrm{em} \mathrm{cm}^{-1} ). Existe degenerescência? Discuta nos 5 primeiros níveis.

Passo 1

O enunciado propõe aproximar os elétrons π de um anel porfirínico por partículas livres confinadas em uma “caixa” quadrada de lado L=1000\;\mathrm{pm}=1{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{m}. O conteúdo envolve o modelo do “particle in a box” em duas dimensões, cujos níveis de energia são dados por
E_{n_x,n_y}=\frac{h^2}{8m_eL^2}\bigl(n_x^2+n_y^2\bigr),
e queremos a menor excitação eletrônica em número de onda \bar v=E/(hc).

Passo 2

Escrevemos a expressão para o número de onda associado ao nível (n_x,n_y):
\bar v_{n_x,n_y}=\frac{E_{n_x,n_y}}{hc} =\frac{h^2}{8m_eL^2}\,\frac{1}{hc}\,(n_x^2+n_y^2) =\underbrace{\frac{h}{8m_eL^2c}}_{k}\,(n_x^2+n_y^2).

Passo 3

Calculamos o coeficiente
k=\frac{h}{8\,m_e\,L^2\,c} =\frac{6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}} {8\cdot9{,}109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\cdot(1{,}0\times10^{-9}\,\mathrm{m})^2\cdot3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s}} \approx3{,}03\times10^{3}\;\mathrm{cm^{-1}}.

Passo 4

O estado fundamental é (n_x,n_y)=(1,1) com \bar v_{1,1}=k\,(1^2+1^2)=2k.
O primeiro nível excitado tem (n_x,n_y)=(1,2) ou (2,1) (degenerados) e \bar v_{1,2}=5k.
Logo a menor excitação corresponde a
\Delta\bar v=\bar v_{1,2}-\bar v_{1,1}=(5-2)\,k=3k\approx3\times3{,}03\times10^3\;\mathrm{cm^{-1}} \approx9{,}10\times10^3\;\mathrm{cm^{-1}}.

Passo 5

Degenerescência e primeiros 5 níveis do sistema:
nível – (n_x,n_y) n_x^2+n_y^2 – deg.
1 – (1,1) – 2 – 12 – (1,2),(2,1) – 5 – 23 – (2,2) – 8 – 14 – (1,3),(3,1) – 10 – 25 – (2,3),(3,2) – 13 – 2

Resposta

A menor excitação é
\Delta\bar v\approx9{,}10\times10^3\;\mathrm{cm^{-1}},
ela é duas vezes degenerada.

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