Encontre as integrais indefinidas:
\int\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3} \frac{1}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{3}\,\frac{1}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é técnica de substituição, pois vemos uma composição que sugere derivada de 1/x.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 1 + \frac{1}{x}.
Calculamos dt. Como \frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{1}{x}\bigr)=-\frac{1}{x^{2}}, temos
dt = -\frac{1}{x^{2}}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\!dt = \frac{1}{x^{2}}\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de t, temos
\int\Bigl(1+\frac{1}{x}\Bigr)^{3}\,\frac{1}{x^{2}}\,dx = \int t^{3}\,\bigl(\tfrac{1}{x^{2}}\,dx\bigr) = \int t^{3}\,(-dt) = -\int t^{3}\,dt.

Passo 4

Agora integramos a potência de t:
- \int t^{3}\,dt = -\frac{t^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos t = 1 + \tfrac{1}{x}:
-\frac{t^{4}}{4} + C = -\frac{\bigl(1+\frac{1}{x}\bigr)^{4}}{4} + C.

Resposta

-\frac{\bigl(1+\frac{1}{x}\bigr)^{4}}{4} + C

Exercícios relacionados