6- Considere uma partícula se movimentando em uma dimensão sob a influencia de um potencial independente do tempo. Vamos supor que os níveis de energia e os auto-estados correspondentes deste sistema sejam conhecidos. Agora, submetemos a partícula a um pulso viageiro, representado pelo potencial dependente do tempo,
\hat{W}(t)=\lambda \delta(x-c t),
onde \lambda e c sã constantes. (a) Suponha que em t=-\infty a partícula esteja no seu estado fundamental, cuja função de onda é \left\langle x \mid u_{0}\right\rangle=u_{0}(x). Obter a probabilidade de encontrar o sistema em algum estado excitado, de auto-função, \left\langle x \mid u_{f}\right\rangle=u_{f}(x), para t \rightarrow \infty. (b) Interpretar fisicamente o resultado em (a) notando que o pulso viageiro anterior pode ser visto como uma superposição de perturbações harmônicas
\delta(x-c t)=\frac{1}{2 \pi c} \int_{-\infty}^{\infty} d \omega e^{i \omega[(x / c)-t]}

Passo 1

O enunciado fornece:
\hat{W}(t)=\lambda \delta(x-c t) com \lambda e c constantes; em t\to -\infty a partícula está no estado fundamental cuja função de posição é \langle x\mid u_{0}\rangle = u_{0}(x). Os autoestados do Hamiltoniano não perturbado são conhecidos; um estado excitado é \langle x\mid u_{f}\rangle = u_{f}(x) com energia E_{f} e o fundamental tem energia E_{0}.
As perguntas são:
(a) Obter a probabilidade de encontrar o sistema no estado \left|u_{f}\right\rangle quando t\to\infty.
(b) Interpretar fisicamente o resultado usando a decomposição
\delta(x-ct)=\frac{1}{2\pi c}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega\, e^{i\omega\left(\frac{x}{c}-t\right)}.

Passo 2

Escolhi usar teoria da perturbação dependente do tempo ao primeiro ordem (perturbação fraca em \lambda). Vou derivar a expressão do amplitude de transição de u_{0} para u_{f} e então a probabilidade. Antes de calcular, explico o que a fórmula que vou usar significa e por que é apropriada:
  • Em teoria da perturbação dependente do tempo, escrevemos a função de onda como combinação dos autoestados do Hamiltoniano não perturbado e obtemos equações para os coeficientes temporais.
  • Ao primeiro ordem em \lambda (assumindo \lambda pequeno), a amplitude de transição a_{f}^{(1)}(t) é dada por uma integral temporal do elemento de matriz da perturbação entre os estados inicial e final, multiplicado por um fator de fase que envolve a diferença de energia. Vou derivar essa expressão passo a passo para que fique claro de onde vem cada termo.

Passo 3

Derivando a fórmula de primeira ordem (a ideia, sem pular etapas importantes): escrevemos a solução geral em termos dos autoestados \{|u_n\rangle\} do Hamiltoniano não perturbado com energias E_n:
|\Psi(t)\rangle=\sum_n a_n(t)e^{-iE_n t/\hbar}|u_n\rangle.
Inserindo isso na equação de Schrödinger dependente do tempo com a perturbação \hat W(t) e projetando em \langle u_f|, obtemos (após manipulações padrão) a equação exata para os coeficientes:
\dot a_f(t) = -\frac{i}{\hbar}\sum_n a_n(t) e^{i\omega_{fn} t} W_{fn}(t),
onde definimos a diferença angular de frequências
\omega_{fn}=\frac{E_f-E_n}{\hbar},
e o elemento de matriz temporal da perturbação
W_{fn}(t)=\langle u_f|\hat W(t)|u_n\rangle.
Ao trabalhar ao primeiro ordem partimos de a_n(t)\approx \delta_{n0} dentro da soma (isto é, o sistema começa em n=0 e as outras amplitudes são pequenas). Assim a amplitude de primeira ordem para f\neq0 é
a_f^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} dt'\, e^{i\omega_{f0} t'} W_{f0}(t').
Explicando variáveis:
  • a_f^{(1)}(t) é o amplitude de probabilidade de estar em |u_f\rangle devido à perturbação, até ordem \lambda.
  • W_{f0}(t') é o elemento de matriz da perturbação entre final f e inicial 0.
  • Tomaremos t_0\to -\infty e t\to +\infty porque o enunciado pede a probabilidade final para t\to\infty.

Passo 4

Calcular explicitamente o elemento de matriz W_{f0}(t) usando que \hat W(t) é multiplicativo em x:
\hat W(t)=\lambda \delta(x-ct),
logo em representação de posição
\langle x|\hat W(t)|x'\rangle=\lambda \delta(x-ct)\delta(x-x').
Portanto
W_{f0}(t)=\langle u_f|\hat W(t)|u_0\rangle =\lambda\int_{-\infty}^{\infty} dx\, u_f^*(x)\delta(x-ct)u_0(x).
A integral com a delta-Dirac é imediata (a delta força x=ct):
W_{f0}(t)=\lambda\, u_f^*(ct)\, u_0(ct).
Explicando: isso significa que, instantaneamente, a força atua apenas no ponto x=ct; o elemento de matriz é então produto das funções de onda avaliadas exatamente nesse ponto multiplicado por \lambda.

Passo 5

Agora plugamos esse W_{f0}(t) na expressão de a_f^{(1)} com limites t_0\to -\infty e t\to +\infty:
a_f^{(1)}(+\infty)=-\frac{i}{\hbar}\int_{-\infty}^{\infty} dt\, e^{i\omega_{f0} t} \lambda\, u_f^*(ct)\, u_0(ct).
Fatorizamos constantes e trocamos variável t por x=ct (isto é, t=x/c e dt=dx/c). Fazendo isso obtemos:
a_f^{(1)}(+\infty)=-\frac{i\lambda}{\hbar c}\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{i\omega_{f0} \frac{x}{c}}\, u_f^*(x)\, u_0(x).
Posso tirar o sinal -i para a forma mais habitual escrevendo
a_f^{(1)}(+\infty)=\frac{\lambda}{i\hbar c}\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{i\frac{E_f-E_0}{\hbar c}x}\, u_f^*(x)\, u_0(x),
porque \omega_{f0}=(E_f-E_0)/\hbar. Aqui fica claro o que aparece: uma integral espacial do produto u_f^*(x)u_0(x) ponderada por uma fase oscilatória e^{i k x} com
k=\frac{E_f-E_0}{\hbar c}.

Passo 6

A probabilidade, ao primeiro ordem não nula, é o módulo ao quadrado da amplitude de primeira ordem (ou seja, efeitos de ordem \lambda^2):
P_{0\to f} \equiv \left|a_f^{(1)}(+\infty)\right|^2 =\frac{\lambda^{2}}{\hbar^{2} c^{2}}\left|\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{i\frac{E_f-E_0}{\hbar c}x}\, u_f^*(x)\, u_0(x)\right|^{2}.
Explico o que cada termo significa:
  • \lambda^{2}/(\hbar^{2} c^{2}) é a intensidade geral da probabilidade (cresce com \lambda^{2} como esperado para primeira ordem no quadrado).
  • A integral é a transformada de Fourier (no espaço) do produto u_f^*(x)u_0(x) avaliada no número de onda k=(E_f-E_0)/(\hbar c). Se essa transformada for grande para esse k, a transição é provavel; se for quase zero, a transição é supressa.
  • A aproximação é válida enquanto P_{0\to f}\ll 1 (perturbação fraca). Para \lambda grandes são necessários termos de ordem superior.

Passo 7

Interpretação física (relacionando com a decomposição em (b)):
  • A identidade dada permite ver o pulso viajante como uma superposição de harmônicos de forma
\delta(x-ct)=\frac{1}{2\pi c}\int_{-\infty}^{\infty} d\omega\, e^{i\omega(\frac{x}{c}-t)}.
Cada componente \omega é uma perturbação do tipo e^{i(kx-\omega t)} com k=\omega/c. Na integral temporal do amplitude aparece o fator e^{i\omega_{f0}t}; ao combinar com as componentes e^{-i\omega t} da perturbação, a integral temporal tende a selecionar a componente com \omega=\omega_{f0}=(E_f-E_0)/\hbar — isto é, o pulso carrega todas as frequências e a frequência que excita a transição satisfaz \hbar\omega=E_f-E_0.
  • Em termos de momento, a fase espacial e^{i k x} com k=\omega/c implica um impulso quântico \hbar k transferido pela perturbação; usando \omega=\omega_{f0} obtemos \hbar k=(E_f-E_0)/c. Portanto a transição pode ser vista como ocasionada por componentes do pulso que entregam a energia e o momento apropriados ao sistema.
  • A fórmula concreta obtida mostra que a eficiência da transição depende da componente espacial do produto u_f^*(x)u_0(x) na frequência espacial k=(E_f-E_0)/(\hbar c): se esse produto contém essa oscilação espacial, a transição é forte; caso contrário, é fraca.

Resposta

P_{0\to f}=\dfrac{\lambda^{2}}{\hbar^{2} c^{2}}\left|\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} dx\, e^{i\frac{E_f-E_0}{\hbar c}x}\, u_f^*(x)\, u_0(x)\right|^{2}.
O pulso viajante contém todas as frequências; a transição é promovida pela componente com \omega=(E_f-E_0)/\hbar, e a amplitude é proporcional à transformada espacial do produto u_f^*(x)u_0(x) avaliada em k=(E_f-E_0)/(\hbar c), correspondendo à transferência de energia \hbar\omega e momento \hbar k.

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