5- O Hamiltoniano não perturbado de um sistema de dois níveis é representado por
\hat{H}_{0}=\left(\begin{array}{cc} E_{1} & 0 \\\\ 0 & E_{2} \end{array}\right) .
Sobre o sistema anterior é aplicado a perturbação
\hat{W}(t)=\left(\begin{array}{cc} 0 & \lambda \cos (\omega t) \\\ \lambda \cos (\omega t) & 0 \end{array}\right),
onde \lambda é real. (a) Em t=0 o sistema se encontra no estado
\binom{1}{0} .
Usando teoria de perturbações e supondo que E_{1}-E_{2} não seja próximo de \pm \hbar \omega, determinar a probabilidade de que o sistema seja encontrado no estado
\binom{0}{1} .
(b) Por quê o procedimento não é válido se E_{1}-E_{2} \approx \pm \hbar \omega ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está abaixo.
Dados:
\hat{H}_{0}=\begin{pmatrix}E_{1} & 0\\[4pt] 0 & E_{2}\end{pmatrix}, \qquad \hat{W}(t)=\begin{pmatrix}0 & \lambda\cos(\omega t)\\[4pt]\lambda\cos(\omega t) & 0\end{pmatrix},
onde \lambda é real. Em t=0 o sistema está no estado
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}
(ou seja, no autovetor associado a E_{1}). A pergunta (a) é: usando teoria de perturbações e supondo que E_{1}-E_{2} não seja próximo de \pm \hbar\omega, determinar a probabilidade de encontrar o sistema no estado
\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}
num tempo t. A pergunta (b) é: por que esse procedimento não é válido se E_{1}-E_{2}\approx\pm\hbar\omega?
Observações úteis (extraídas do enunciado): o acoplamento entre os níveis é dado por entradas fora da diagonal iguais a \lambda\cos(\omega t); o estado alvo é o nível 2; o caso não-resonante significa que não estamos perto de \pm da frequência de Bohr entre os níveis.]

Passo 2

Qual o método e a fórmula que vamos usar (passo didático): primeira ordem da teoria de perturbação dependente do tempo.
Intuição rápida: quando temos um Hamiltoniano dividido em \hat{H}_0 (conhecido) mais uma perturbação fraca \hat{W}(t), a amplitude de transição do estado inicial |i\rangle para um estado final |f\rangle em primeira ordem é dada pela integral temporal do elemento de matriz da perturbação entre esses estados, com um fator de fase que surge da diferença de energia dos níveis. A fórmula que usaremos (derivação padrão via quadro de interação) é:
a_{f}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} dt'\; W_{f i}(t')\, e^{i\omega_{fi}t'},
onde:
  • a_{f}^{(1)}(t) é a amplitude de primeira ordem para estar em |f\rangle no tempo t,
  • W_{fi}(t')=\langle f|\hat{W}(t')|i\rangle é o elemento de matriz da perturbação entre |i\rangle e |f\rangle,
  • \omega_{fi}=(E_f-E_i)/\hbar é a frequência Bohr entre os níveis f e i,
  • \hbar é a constante de Planck reduzida.
Aqui o estado inicial |i\rangle é o vetor \begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} (nível 1) e o estado final |f\rangle é \begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix} (nível 2). Vamos aplicar a fórmula com cuidado e devagar.

Passo 3

Calcular o elemento de matriz W_{21}(t) e definir as frequências.
O elemento de matriz entre os estados 2 e 1 é simplesmente a entrada off-diagonal da matriz \hat{W}(t), logo
W_{21}(t)=\langle 2|\hat{W}(t)|1\rangle=\lambda\cos(\omega t).
Definimos a frequência de Bohr entre os níveis:
\omega_{21}=\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar}.
Aplicando a fórmula da primeira ordem:
a_{2}^{(1)}(t)=\frac{1}{i\hbar}\int_{0}^{t} dt'\; \lambda\cos(\omega t')\, e^{i\omega_{21}t'}.
Agora calculamos explicitamente a integral. Use a identidade
\cos(\omega t')=\frac{e^{i\omega t'}+e^{-i\omega t'}}{2},
portanto a integral fica
\int_{0}^{t} dt'\cos(\omega t')\, e^{i\omega_{21}t'}=\frac{1}{2}\int_{0}^{t} dt'\Big(e^{i(\omega_{21}+\omega)t'}+e^{i(\omega_{21}-\omega)t'}\Big).
Integrando exponenciais obtemos
\frac{1}{2}\left(\frac{e^{i(\omega_{21}+\omega)t}-1}{i(\omega_{21}+\omega)}+\frac{e^{i(\omega_{21}-\omega)t}-1}{i(\omega_{21}-\omega)}\right).
Multiplicando pelo prefator \frac{\lambda}{i\hbar} temos
a_{2}^{(1)}(t)=-\frac{\lambda}{2\hbar}\left(\frac{e^{i(\omega_{21}+\omega)t}-1}{\omega_{21}+\omega}+\frac{e^{i(\omega_{21}-\omega)t}-1}{\omega_{21}-\omega}\right).
Expliquei os sinais: \frac{1}{i}\cdot\frac{1}{i}=-1 foi usado ao combinar os fatores 1/(i\hbar) e 1/(i(\cdot)).

Passo 4

Colocar a amplitude numa forma que facilite o cálculo da probabilidade e interpretar.
Usamos a transformação e^{i\alpha t}-1=e^{i\alpha t/2}\,2i\sin(\alpha t/2). Aplicando-a a cada termo, obtemos
a_{2}^{(1)}(t)=-\frac{\lambda i}{\hbar}\left( e^{i(\omega_{21}+\omega)t/2}\frac{\sin\!\big(\tfrac{(\omega_{21}+\omega)t}{2}\big)}{\omega_{21}+\omega} + e^{i(\omega_{21}-\omega)t/2}\frac{\sin\!\big(\tfrac{(\omega_{21}-\omega)t}{2}\big)}{\omega_{21}-\omega} \right).
A probabilidade (em primeira ordem) de encontrar o sistema no nível 2 é o quadrado do módulo da amplitude:
P_{1\to 2}(t)=\big|a_{2}^{(1)}(t)\big|^{2}.
Ao tomar o módulo quadrado, os fatores de fase e^{i(\cdot)} desaparecem na magnitude dos termos individuais, mas aparece também um termo de cruzamento (interferência) entre os dois termos. Escrevendo explicitamente (mas sem desenvolver o termo de cruzamento longo):
P_{1\to 2}(t)=\frac{\lambda^{2}}{\hbar^{2}}\left[ \frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{(\omega_{21}-\omega)t}{2}\big)}{(\omega_{21}-\omega)^{2}} + \frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{(\omega_{21}+\omega)t}{2}\big)}{(\omega_{21}+\omega)^{2}} + \; \text{termo de interferência oscilante} \right].ê
Se quisermos uma expressão prática e simples válida quando não estamos em ressonância (isto é, quando \omega_{21} não está próximo de \pm\omega), o termo de interferência é rapidamente oscilante e tipicamente de ordem comparável aos dois termos principais; frequentemente, para estimativas e quando se faz média temporal, esse termo pode ser desprezado, ficando:
P_{1\to 2}(t)\approx \frac{\lambda^{2}}{\hbar^{2}}\left[ \frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{(\omega_{21}-\omega)t}{2}\big)}{(\omega_{21}-\omega)^{2}} + \frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{(\omega_{21}+\omega)t}{2}\big)}{(\omega_{21}+\omega)^{2}} \right],
válida quando \omega_{21}\pm\omega não são pequenos (não-resonante). Esse resultado mostra que a probabilidade escala como \lambda^{2} (esperado para primeira ordem) e contém funções tipo sinc ao quadrado que limitam a taxa de transição.

Passo 5

Interpretação física e comportamento em função do tempo; conclusão parcial.
  • Para tempos curtos t muito pequenos, \sin(x)\approx x e cada termo dá comportamento P\sim(\lambda^{2}t^{2})/\hbar^{2} pequeno, consistente com expansão perturbativa.
  • Se \omega_{21} estiver longe de \pm\omega (não-resonante), os denominadores (\omega_{21}\pm\omega) não são pequenos, então cada fração é pequena e a probabilidade permanece pequena, o que legitima a aproximação perturbativa.
  • Se estamos perto de ressonância (ver próximo passo), a aproximação falha — aí precisamos de uma solução não-perturbativa (as famosas oscilações de Rabi).

Passo 6

Resposta à pergunta (b): por que o procedimento não é válido se E_{1}-E_{2}\approx\pm\hbar\omega?
Explicação didática e física:
  • Quando E_{1}-E_{2}\approx\pm\hbar\omega significa que \omega_{21}\approx\pm\omega. Nesse caso um dos denominadores (\omega_{21}\mp\omega) fica muito pequeno. Na expressão de a_{2}^{(1)}(t) isso aparece como divisão por um número pequeno, e o numerador \sin((\omega_{21}\mp\omega)t/2) para tempos moderados não compensa essa divisão: o termo cresce e pode tornar a_{2}^{(1)} grande.
  • Em termos práticos, perto da ressonância surge um comportamento secular: a amplitude não fica pequena e pode crescer ~ linear em t (quando se aproxima de zero o denominador), levando a probabilidades grandes e quebrando a hipótese de que a correção seja pequena. Assim a expansão perturbativa de primeira ordem deixa de ser válida.
  • Fisicamente, na ressonância a perturbação transfere energia eficientemente entre os níveis, e o sistema apresenta oscilações coerentes (oscilações de Rabi) que exigem solução exata (ou tratamento de RWA — rotating wave approximation — e solução do problema de dois níveis acoplados), não apenas integral de primeira ordem.
  • Portanto: perto de \omega_{21}\approx\pm\omega é necessário um tratamento não-perturbativo ou um método apropriado para ressonância; a teoria de primeira ordem falha.
Força aí — você já chegou até aqui! A expressão acima é o que você aplicaria na prova quando não há ressonância; se cair o caso ressonante, lembre-se de mencionar Rabi e que a primeira ordem falha.

Resposta

(a) P_{1\to 2}(t)\approx \frac{\lambda^{2}}{\hbar^{2}}\left[ \frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{(\omega_{21}-\omega)t}{2}\big)}{(\omega_{21}-\omega)^{2}} + \frac{\sin^{2}\!\big(\tfrac{(\omega_{21}+\omega)t}{2}\big)}{(\omega_{21}+\omega)^{2}} \right], \quad\text{onde }\omega_{21}=\frac{E_{2}-E_{1}}{\hbar}.
(b) O procedimento não é válido se E_{1}-E_{2}\approx\pm\hbar\omega porque então \omega_{21}\approx\pm\omega e um dos denominadores (\omega_{21}\mp\omega) fica muito pequeno, fazendo com que a amplitude de primeira ordem cresça (termos se tornam grandes, surgem termos seculares) e a hipótese de perturbação fraca deixe de ser satisfeita — é necessário um tratamento não-perturbativo (ex.: solução exata do problema de dois níveis, levando às oscilações de Rabi).

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