3- Considere um oscilador harmônico. Para t<0 o oscilador se encontra no estado fundamental. No instante t=0 é aplicado uma perturbação da forma
\hat{W}(t)=\lambda \hat{x}^{2} e^{-t / \tau} .
Para t suficientemente grande, t \gg \tau, usando teoria de perturbações, determinar a probabilidade de encontrar o sistema em quaisquer estado excitado.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Para t<0 o sistema é o oscilador harmônico no estado fundamental |0\rangle.
  • No instante t=0 começa uma perturbação temporal
\hat{W}(t)=\lambda \hat{x}^{2} e^{-t/\tau},
com \lambda pequeno (perturbação fraca) e \tau uma constante de decaimento temporal.
  • A pergunta: para t suficientemente grande ( t\gg\tau), usando teoria de perturbações, determinar a probabilidade de encontrar o sistema em quaisquer estados excitados (isto é, a probabilidade de sair do estado fundamental).
Essas são todas as informações do enunciado; a resolução começa a seguir.

Passo 2

Vamos usar a teoria da perturbação temporal em primeira ordem para calcular amplitudes de transição. A fórmula padrão (primeira ordem) para a amplitude de transição do estado inicial |0\rangle para um estado |n\rangle é
a_n^{(1)}(t) = -\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t} dt'\, e^{i\omega_{n0} t'} W_{n0}(t'),
onde definimos
\omega_{n0}=\frac{E_n-E_0}{\hbar}
e
W_{n0}(t')=\langle n|\hat{W}(t')|0\rangle.
Explico: a_n^{(1)}(t) é a amplitude (complexa) para estar em |n\rangle devido à perturbação; W_{n0}(t') é o elemento de matriz da perturbação entre os estados; \omega_{n0} é a frequência de Bohr entre os níveis. A probabilidade de encontrar em |n\rangle é P_n(t)=|a_n^{(1)}(t)|^2 (válido até ordem \lambda^2).

Passo 3

Precisamos dos elementos de matriz \langle n|\hat{x}^{2}|0\rangle. Para isso usemos as operadores de criação/aniquilação. Lembrando que
\hat{x}=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}\left(\hat{a}+\hat{a}^\dagger\right),
logo
\hat{x}^{2}=\frac{\hbar}{2m\omega}\left(\hat{a}^{2}+\hat{a}^{\dagger 2}+\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger\hat{a}\right).
Agora, ao aplicar \hat{x}^2 entre |0\rangle e |n\rangle, note as regras de seleção: \hat{a}^2 diminui o número de quanta em 2, \hat{a}^{\dagger2} aumenta em 2, e \hat{a}\hat{a}^\dagger e \hat{a}^\dagger\hat{a} são diagonalizadas em termos de |n\rangle. Portanto, a partir do estado |0\rangle só há elemento não nulo para |n\rangle com n=0 (diagonal) e n=2 (via \hat{a}^{\dagger2}). Em particular, a primeira ordem só conecta |0\rangle a |2\rangle. Assim, transições para estados n\neq 2 são nulas na primeira ordem; contribuições para n=4,6,\dots só aparecem em ordens superiores.
Isso é útil: para probabilidade de “qualquer estado excitado” ao menor ordem em \lambda basta calcular a probabilidade para n=2.

Passo 4

Calculemos explicitamente o elemento de matriz entre |0\rangle e |2\rangle. Da expressão de \hat{x}^2 acima, o único termo que contribui é \hat{a}^{\dagger2}. Assim
\langle 2|\hat{x}^{2}|0\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega}\langle 2|\hat{a}^{\dagger2}|0\rangle.
Agora \hat{a}^{\dagger2}|0\rangle = \hat{a}^\dagger(\hat{a}^\dagger|0\rangle)=\hat{a}^\dagger|1\rangle=\sqrt{2}\,|2\rangle. Logo
\langle 2|\hat{a}^{\dagger2}|0\rangle=\sqrt{2}.
Portanto
\langle 2|\hat{x}^{2}|0\rangle = \frac{\hbar}{2m\omega}\sqrt{2} = \sqrt{2}\,\frac{\hbar}{2m\omega}.

Passo 5

Agora montamos a amplitude a_2^{(1)}(t). Temos
W_{20}(t')=\lambda \langle 2|\hat{x}^{2}|0\rangle e^{-t'/\tau}=\lambda\left(\sqrt{2}\,\frac{\hbar}{2m\omega}\right)e^{-t'/\tau}.
A frequência de Bohr entre n=2 e n=0 é
\omega_{20}=\frac{E_2-E_0}{\hbar}=\frac{\hbar\omega(2+1/2)-\hbar\omega(0+1/2)}{\hbar}=2\omega.
Aplicando a fórmula da primeira ordem:
a_2^{(1)}(t)=-\frac{i}{\hbar}\int_0^{t} dt'\, e^{i\omega_{20} t'} \lambda\left(\sqrt{2}\,\frac{\hbar}{2m\omega}\right)e^{-t'/\tau}.
Simplificando o fator \hbar que cancela:
a_2^{(1)}(t)=-i\lambda\left(\sqrt{2}\,\frac{1}{2m\omega}\right)\int_0^{t} dt'\, e^{(i\omega_{20}-1/\tau)t'}.
Como queremos t\gg\tau podemos estender o limite superior da integral para \infty, pois o exponencial temporal decai. Assim avaliamos
\int_0^{\infty} dt'\, e^{(i\omega_{20}-1/\tau)t'}=\frac{1}{1/\tau - i\omega_{20}}.
Portanto
a_2^{(1)}(\infty)=-i\lambda\left(\sqrt{2}\,\frac{1}{2m\omega}\right)\frac{1}{1/\tau - i\omega_{20}}.

Passo 6

A probabilidade de estar no estado |2\rangle (à ordem \lambda^2) é P_2=|a_2^{(1)}(\infty)|^2. Calculemos o módulo ao quadrado. Primeiro o módulo do elemento numérico:
\left|\sqrt{2}\,\frac{1}{2m\omega}\right|^{2}=\frac{2}{4m^{2}\omega^{2}}=\frac{1}{2m^{2}\omega^{2}}.
E
\left|\frac{1}{1/\tau - i\omega_{20}}\right|^{2}=\frac{1}{(1/\tau)^{2}+\omega_{20}^{2}}.
Com \omega_{20}=2\omega obtemos
P_2 = \lambda^{2}\frac{1}{2m^{2}\omega^{2}}\cdot\frac{1}{(1/\tau)^{2}+(2\omega)^{2}}.
Portanto, à ordem mais baixa em \lambda (primeira ordem em amplitude, orde \lambda^{2} em probabilidade), a probabilidade total de sair do estado fundamental e estar em qualquer estado excitado é dominada por P_2. Transições para outros estados excitados aparecem apenas em ordens superiores (por exemplo n=4 surge na segunda ordem em amplitude, proporcional a \lambda^{2} na amplitude e \lambda^{4} na probabilidade), e portanto são desprezáveis no regime de perturbação fraca.

Passo 7

Interpretações rápidas e limites físicos (úteis na prova):
  • Regime adiabático lento ( \tau\to\infty): o fator 1/\tau fica pequeno e a probabilidade tende a
P_2\to \frac{\lambda^{2}}{2m^{2}\omega^{2}}\frac{1}{4\omega^{2}}=\frac{\lambda^{2}}{8 m^{2}\omega^{4}}.
  • Regime rápido ( \tau\to 0): o termo 1/\tau^{2} domina e P_2 fica pequeno, mostrando que um pulso extremamente rápido mas de pequena área temporal pode não excitar eficientemente esse modo (a dependência temporal da perturbação importa).
  • Repare que a probabilidade é proporcional a \lambda^{2} (esperado para processos de primeira ordem em amplitude) e inversamente proporcional a m^{2} e potências de \omega, como aparece na escala de x.

Resposta

P_{\text{excited}}\simeq P_{2}=\frac{\lambda^{2}}{2m^{2}\omega^{2}}\cdot\frac{1}{(1/\tau)^{2}+4\omega^{2}}.

Exercícios relacionados