3- Considere um oscilador harmônico. Para t<0 o oscilador se encontra no estado fundamental. No instante t=0 é aplicado uma perturbação da forma
\hat{W}(t)=\lambda \hat{x}^{2} e^{-t / \tau} .
Para t suficientemente grande, t \gg \tau, usando teoria de perturbações, determinar a probabilidade de encontrar o sistema em quaisquer estado excitado.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
Para t<0 o sistema é o oscilador harmônico no estado fundamental |0\rangle.
No instante t=0 começa uma perturbação temporal
\hat{W}(t)=\lambda \hat{x}^{2} e^{-t/\tau},
com \lambda pequeno (perturbação fraca) e \tau uma constante de decaimento temporal.
A pergunta: para t suficientemente grande (t\gg\tau), usando teoria de perturbações, determinar a probabilidade de encontrar o sistema em quaisquer estados excitados (isto é, a probabilidade de sair do estado fundamental).
Essas são todas as informações do enunciado; a resolução começa a seguir.
Passo 2
Vamos usar a teoria da perturbação temporal em primeira ordem para calcular amplitudes de transição. A fórmula padrão (primeira ordem) para a amplitude de transição do estado inicial |0\rangle para um estado |n\rangle é
Explico: a_n^{(1)}(t) é a amplitude (complexa) para estar em |n\rangle devido à perturbação; W_{n0}(t') é o elemento de matriz da perturbação entre os estados; \omega_{n0} é a frequência de Bohr entre os níveis. A probabilidade de encontrar em |n\rangle é P_n(t)=|a_n^{(1)}(t)|^2 (válido até ordem \lambda^2).
Passo 3
Precisamos dos elementos de matriz \langle n|\hat{x}^{2}|0\rangle. Para isso usemos as operadores de criação/aniquilação. Lembrando que
Agora, ao aplicar \hat{x}^2 entre |0\rangle e |n\rangle, note as regras de seleção: \hat{a}^2 diminui o número de quanta em 2, \hat{a}^{\dagger2} aumenta em 2, e \hat{a}\hat{a}^\dagger e \hat{a}^\dagger\hat{a} são diagonalizadas em termos de |n\rangle. Portanto, a partir do estado |0\rangle só há elemento não nulo para |n\rangle com n=0 (diagonal) e n=2 (via \hat{a}^{\dagger2}). Em particular, a primeira ordem só conecta |0\rangle a |2\rangle. Assim, transições para estados n\neq 2 são nulas na primeira ordem; contribuições para n=4,6,\dots só aparecem em ordens superiores.
Isso é útil: para probabilidade de “qualquer estado excitado” ao menor ordem em \lambda basta calcular a probabilidade para n=2.
Passo 4
Calculemos explicitamente o elemento de matriz entre |0\rangle e |2\rangle. Da expressão de \hat{x}^2 acima, o único termo que contribui é \hat{a}^{\dagger2}. Assim
A probabilidade de estar no estado |2\rangle (à ordem \lambda^2) é P_2=|a_2^{(1)}(\infty)|^2. Calculemos o módulo ao quadrado. Primeiro o módulo do elemento numérico:
Portanto, à ordem mais baixa em \lambda (primeira ordem em amplitude, orde \lambda^{2} em probabilidade), a probabilidade total de sair do estado fundamental e estar em qualquer estado excitado é dominada por P_2. Transições para outros estados excitados aparecem apenas em ordens superiores (por exemplo n=4 surge na segunda ordem em amplitude, proporcional a \lambda^{2} na amplitude e \lambda^{4} na probabilidade), e portanto são desprezáveis no regime de perturbação fraca.
Passo 7
Interpretações rápidas e limites físicos (úteis na prova):
Regime adiabático lento (\tau\to\infty): o fator 1/\tau fica pequeno e a probabilidade tende a
Regime rápido (\tau\to 0): o termo 1/\tau^{2} domina e P_2 fica pequeno, mostrando que um pulso extremamente rápido mas de pequena área temporal pode não excitar eficientemente esse modo (a dependência temporal da perturbação importa).
Repare que a probabilidade é proporcional a \lambda^{2} (esperado para processos de primeira ordem em amplitude) e inversamente proporcional a m^{2} e potências de \omega, como aparece na escala de x.