4 - Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante t=0 é dada por:
Psi(x, 0)=A(e^-alpha x^2+e^-beta x^2)
onde A é uma constante de normalização, e alpha e beta são parâmetros positivos.
a) Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada.
b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre x=-a ex=a, onde a>0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica quântica envolvendo a função de onda de uma partícula no instante inicial $ t = 0 $. A função de onda é dada por:
t = 0
Aqui, $ A $ é uma constante de normalização, e $ \alpha $ e $ \beta $ são parâmetros positivos. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o valor de $ A $ que normaliza a função de onda.
b) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre $ x = -a $ e $ x = a $, onde $ a > 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre normalização de funções de onda e como calcular probabilidades usando integrais em mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a), que pede para determinar a constante de normalização $ A $.
Para que a função de onda esteja normalizada, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Em outras palavras:
A
Vamos calcular $ |\Psi(x, 0)|^2 $:
integral-infty^infty |Psi(x, 0)|^2 , dx = 1
Agora, integramos cada termo separadamente. Sabemos que a integral de uma função gaussiana $ e^{-k x^{2}} $ de $ -\infty $ a $ \infty $ é $ \sqrt{\pi/k} $. Usando isso, temos:
|Psi(x, 0)|^2
|Psi(x, 0)|^2 = A^2 (e^-2alpha x^2 + e^-2beta x^2 + 2e^-(alpha + beta)x^2)
e^-k x^2
Substituindo na integral total:
-infty
Resolvendo para $ A $:
infty
Podemos fatorar $ \sqrt{\pi} $ para simplificar:
raizpi/k

Passo 3

Agora, vamos para a parte b), que solicita a probabilidade de encontrar a partícula entre $ x = -a $ e $ x = a $.
A probabilidade $ P $ é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nesse intervalo:
x = -a
Já sabemos que:
x = a
Então, a integral fica:
P
Para resolver essas integrais, usamos a função erro ($ erf $), que é definida como:
P = integral-a^a |Psi(x, 0)|^2 , dx
Assim, cada integral pode ser expressa em termos de $ erf $:
|Psi(x, 0)|^2 = A^2 (e^-2alpha x^2 + e^-2beta x^2 + 2e^-(alpha + beta)x^2)
Aplicando isso nas integrais:
P = A^2 ( integral-a^a e^-2alpha x^2 , dx + integral-a^a e^-2beta x^2 , dx + 2integral-a^a e^-(alpha + beta)x^2 , dx )

Resposta

a) A constante de normalização $ A $ é dada por:
A
b) A probabilidade de encontrar a partícula entre $ x = -a $ e $ x = a $ é:
A = 1raiz raizpi2alpha + raizpi2beta + 2raizpialpha + beta

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