4 - Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante
é dada por:
onde
é uma constante de normalização, e
e
são parâmetros positivos.
a) Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada.
b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre
, onde
.
a) Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada.
b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula entre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de mecânica quântica envolvendo a função de onda de uma partícula no instante inicial $ t = 0 $. A função de onda é dada por:
Aqui, $ A $ é uma constante de normalização, e $ \alpha $ e $ \beta $ são parâmetros positivos. Nosso objetivo é:
a) Encontrar o valor de $ A $ que normaliza a função de onda.
b) Calcular a probabilidade de encontrar a partícula entre $ x = -a $ e $ x = a $, onde $ a > 0 $.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre normalização de funções de onda e como calcular probabilidades usando integrais em mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a), que pede para determinar a constante de normalização $ A $.
Para que a função de onda esteja normalizada, a integral do módulo ao quadrado da função de onda sobre todo o espaço deve ser igual a 1. Em outras palavras:
Vamos calcular $ |\Psi(x, 0)|^2 $:
Agora, integramos cada termo separadamente. Sabemos que a integral de uma função gaussiana $ e^{-k x^{2}} $ de $ -\infty $ a $ \infty $ é $ \sqrt{\pi/k} $. Usando isso, temos:
Substituindo na integral total:
Resolvendo para $ A $:
Podemos fatorar $ \sqrt{\pi} $ para simplificar:
Passo 3
Agora, vamos para a parte b), que solicita a probabilidade de encontrar a partícula entre $ x = -a $ e $ x = a $.
A probabilidade $ P $ é dada pela integral do módulo ao quadrado da função de onda nesse intervalo:
Já sabemos que:
Então, a integral fica:
Para resolver essas integrais, usamos a função erro ($ erf $), que é definida como:
Assim, cada integral pode ser expressa em termos de $ erf $:
Aplicando isso nas integrais:
Resposta
a) A constante de normalização $ A $ é dada por:
b) A probabilidade de encontrar a partícula entre $ x = -a $ e $ x = a $ é: