1 - Considere uma partícula quântica cuja função de onda no instante
é dada por:
onde A é uma constante de normalização e L é o comprimento do intervalo. Determine a constante de normalização A para que a função de onda esteja normalizada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de física quântica juntos! O enunciado nos dá a função de onda de uma partícula no tempo $ t = 0 $ e pede para encontrarmos a constante de normalização $ A $ de modo que a função de onda esteja normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Para resolver isso, vamos usar o conceito de normalização de funções de onda, que envolve integrar o quadrado do módulo da função de onda sobre todo o espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que para uma função de onda $ \Psi(x) $ estar normalizada, a integral do seu módulo ao quadrado em todo o espaço deve ser igual a 1. Ou seja:
No nosso caso, a função de onda $ \Psi(x, 0) $ é igual a $ A_0 $ entre 0 e $ L $ e zero fora desse intervalo. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ |\Psi(x, 0)|^2 $ na integral de normalização:
Note que fora do intervalo de 0 a $ L $, a função é zero, então só precisamos integrar de 0 a $ L $.
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Aqui, tiramos $ |A_0|^2 $ para fora da integral porque é uma constante em relação a $ x $.
Passo 5
Agora, vamos isolar $ |A_0|^2 $:
Passo 6
Finalmente, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados para encontrar $ |A_0| $. Como $ A_0 $ é uma constante de normalização real positiva, podemos escrever:
Resposta
A constante de normalização é $ A_0 = \dfrac{1}{\sqrt{L}} $.